Операторные уравнения
    Выпускная квалификационная работа
    Выполнила студентка V курса математического факультета Кощеева Анна Сергеевна
    Вятский Государственный Гуманитарный университет (ВятГГУ)
    Киров 2005 Введение
    Функциональный анализ - мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.
    Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.
    Цель данной работы: рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений - метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение этих методов к решению задач.
    Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:
    раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;
    проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.
    Так как выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель - сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй - решения конкретных задач. Глава 1. Операторные уравнения §1.Определение линейного оператора
    Пусть X и Y - линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.
    Оператор А: X > Y с областью определения D(А) называется линейным, если
    А(?1x1 + ?2x2) = ?1А(x1) + ?2А(x2)
    для любых x1,x2 ? D и любых скаляров ?1 и ?2.
    Пусть X и Y - нормированные пространства и А: X > Y, где А - линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).
    Оператор А называется непрерывным в точке x0 ? X, если Аx > Аx0 при x > x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0 ? X можно по непрерывности его в нуле пространства X.
    Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 ? X; тогда А непрерывен в любой точке x0 ? X.
    Доказательство. Рассмотрим равенство Аx - Аx0 = А (x - x0). Если x > x0, то z = x - x0 > 0. По непрерывности в нуле Аz > 0, но тогда Аx - Аx0 > 0, что и требовалось доказать.
    Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.
    Пусть S1(0) - замкнутый шар ||x|| ? 1 в банаховом пространстве X.
    Будем называть линейный оператор А: X > Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т.е. если ограничено множество
    { ||Аx||, ||x|| ? 1}.
    Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ? 1 справедливо неравенство
    ||Аx|| ? с (1)
    Теорема 2. ............