Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей Карпова Наталия Анатольевна Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики - процессов управления Кафедра математического моделирования энергетических систем Санкт Петербург 2002 Введение.
    Математическая статистика является наукой, которая изучает соотношения, столь глубоко проникающие в суть вещей, что их можно встретить при самых различных обстоятельствах. Результаты исследований, полученные с помощью аппарата математической статистики, используются в самых различных областях науки и техники, таких как биология, медицина, анатомия, геология, экология, экономика, и т.д.
    Данная дипломная работа посвящена рассмотрению двух основных задач математической статистики:
    получению кривой распределения вероятностей по имеющейся выборке;
    нахождению зависимости между двумя случайными величинами, заданными своими выборками.
    Для решения первой задачи используются различные методы. В данной работе рассмотрен метод Карла Пирсона, представителя английской школы статистики. Им было получено дифференциальное уравнение
    ,
    а так же введен критерий ? (каппа Пирсона), с помощью которого Пирсон классифицировал решения этого дифференциального уравнения и представил их в виде двенадцати типов.
    Позже в своих теоретических исследованиях Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения данной задачи используется метод Пирсона нахождения кривой распределения.
    Для решения второй задачи используется метод П.Л. Чебышева, создателя Санкт - Петербургской математической школы. В статистике имя знаменитого русского математика П. Л. Чебышева (1821-1894) известно главным образом по так называемому неравенству Чебышева, которое он предложил для распределения вероятностей, и которое имеет силу для любого статистического распределения численностей.
    Однако за последнее время в статистике всё большее значение приобретают ортогональные полиномы Чебышева, которые имеют особое значение при определении множественной и криволинейной регрессии и при вычислении коэффициентов обобщённой функции нормального распределения вероятностей.
    Чебышев предложил общую интерполяционную формулу, при которой возможно интерполирование в самых разнообразных случаях. Эта интерполяционная формула удовлетворяет условиям метода наименьших квадратов и выражена при помощи его ортогональных полиномов. Общая интерполяционная формула, или, иначе ряд Чебышева, предложен Чебышевым в 1855 году. Она имеет вид
    .
    Таким образом в дипломной работе рассматриваются два метода:
    метод Пирсона нахождения кривых распределения вероятностей,
    метод Чебышева получения ортогональных полиномов,
    которые были положены в основу обобщенного метода Грамма - Шарлье нахождения кривой распределения вероятностей. Глава 1. Система кривых Пирсона.
    В данной главе ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде. ............