Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.
    1 C00
    1 1 C10 C11
    1 2 1 C20 C21 C22
    1 3 3 1 C30 C31 C32 C33
    1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44
    1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55
    1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
    1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1. Свойства треугольника Паскаля:
    1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно сумме двух соседних в предыдущей строке.
    2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис- лам.
    3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре- дыдущей сроке.
    4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой.
    Сmn=Cmm-n 2. Бином Ньютона.
    (a+b) - двучлен (бином)
    (a+b)0=1
    (a+b)1=a+b
    (a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2
    и т.д. ;) Свойства бинома Ньютона:
    1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых.
    2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны между собой.
    3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:
    n
    (a + b)n = S Cnk.an-k.bk
    k=0
    4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk
    5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.
    Метод математической индукции.
    Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:
    1) Оно верно при n=1;
    2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно при n=k+1.
    Комбинаторика: Размещения и перестановки.
    Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю- щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое- динениями.
    3 рода соединений:
    1) Размещения
    2) Перестеновки
    3) Сочетания
    Дано: (a,b,c) - 3 элемента.
    по одному: a, b, c.
    по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.
    по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba. 1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд- ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m
    ------------¬
    ¦ m! ¦
    ¦Amn= ------+
    ¦ (m-n)!¦
    L------------ 2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются перестановками.
    ------¬
    ¦Pm=m!¦
    L------ 2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на- зываются сочетениями.
    --------------¬ Свойства числа сочетний:
    ¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n
    ¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1
    ¦ (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1
    L-------------- 4) C00=0!=1
    Дифференцирование функций.
    Производная функции
    h=x-a - приращение аргумента
    f(a+h) - f(a) - приращение функции
    --------------------------------------¬
    ¦ f(a+h) - f(a) -
    ¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)-
    ¦ h->0 h -
    +--------------------------------------
    ¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h-
    L--------------------
    df = f'(x).dx - дифференциал функции.
    Примеры:
    1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h))
    1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- =
    x h->0 h h->0 h
    1 1
    = lim ------- = ---
    x(x+h) h2
    |\\ 1
    2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = ---
    2?x
    (ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2
    ----------------¬
    ¦(axn)' = n.xn-1¦
    L----------------
    Техника дифференцирования.
    (fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то-
    (f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ-
    ( f )' f'g + fg' ке.
    ¦ - ¦ = ---------
    9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ-
    водная отрицательна.
    (fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про-
    n|\\ 1 изводная положительна.
    ? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес-
    n. ............