Лабораторна №3
Паралельні проекції
Метою разділу є ознайомлення з елементарним математичним апаратом плоских геометричних проекцій. Для простоти будемо вважати, що при центральному проектуванні картинна площина перпендикулярна осі z і збігається з площиною z = d, а при паралельному збігається з площиною z = 0. Проекції розглядаються в системі координат спостерігача, що є лівосторонньою. Система координат, в якій вісь х спрямована вправо, вісь у - вгору, а вісь z - усередину екрана, природньо погоджується з екраном дисплея.
Рис.1 Центральна проекція
Кожну з проекцій можна описати матрицею розміром 4х4. Цей спосіб виявляється зручним, оскільки з'являється можливість об'єднати матрицю проектування з матрицею перетворення, представивши в результаті дві операції (перетворення і проектування) у виді однієї матриці. У цьому розділі ми одержимо матриці розміром 4х4 для декількох проекцій і насамперед для центральної. На рис.1 наведені три зображення лівосторонньої системи координат, у яких точка P проектується на проекційну площину, розташовану на відстані d від початку координат. Для обчислення координат Xр і Yp проекції точки (x, у, z) напишемо співвідношения, отримані з подібності трикутників (рис.1):
Перемножуючи обидві сторони кожного співвідношення на d, одержимо
Відстань d є в даному випадку масштабним множником, застосованим до координат Xp і Yp. Фактором, що приводить до того, що на центральній проекції більш віддалені об'єкти виглядають дрібніше, ніж ближчі, є ділення на z. Відзначимо, що допустимі всі значення z, крім z = 0. Точки можуть розташовуватися як за центром проекції на від’ємній частині осі z, так і між центром проекції і проекційною площиною.
Ці перетворення можна представити у вигляді матриці розміром 4х4:
Множачи точку на матрицю . отримаємо загальний вираз для точки в однорідних координатах :
геометричний проекція косокутний матриця
Тепер, поділивши на W (що дорівнює z/d) для зворотнього переходу до трьох вимірів, отримаємо
Цей результат є коректним, оскільки містить перетворену z - координату з 1, що відповідає положенню проекційної ПЛОЩИНИ ВЗДОВЖ ОСІ 2.
Рис. 2 Інша схема побудови центральної проекції
При іншому представленні центрального проектування, застосовуваному в деяких роботах, проекційна площина сполучається з площиною 2 = 0, а центр проекції розташовується в точці 2 = - с (рис. 2). З подібності трикутників випливає
Звідси одержуємо
Матриця записується у виді
Цю матрицю можна одержати з матриці шляхом переносу центра проекції в початок координат, застосування і зворотнього переносу:
Ортографічне проектування на площину z = 0 очевидне. Напрямок проектування збігається з нормаллю до площини проекції, тобто в нашому випадку з віссю z. Таким чином, точка Р має координати:
Ця проекція описується матрицею
Рис. 3 Косокутна рівнобіжна проекція одиничного куба.
Точка Р' є проекцією точки P (0, 0, 1)
Розглянемо тепер косокутну проекцію, матриця якої може бути записана виходячи зі значень a і l (рис. 3). На рис. 3 зображений одиничний куб, спроектований на xy-площину. З малюнка видно, що проекцією точки P (0, 0, 1), що знаходиться на задній стороні' одиничного куба, є точка Р'(l соsа, l sіnа, 0), що належить площині ху. ............
