ПОХІДНІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

 

1 Частинні похідні

 

Нехай функція  визначена в деякому околі точки .
Надамо змінній x приросту, залишаючи змінну  незмінною, так, щоб точка  належала заданому околу.

Величина

називається частинним приростом функції  за змінною x.

Аналогічно вводиться частинний приріст  функції за змінною:

.

Якщо існує границя

,

то вона називається частинною похідною функції  в точці  за змінною x і позначається одним із таких символів:

.

Аналогічно частинна похідна функції за  визначається як границя

і позначається одним із символів:

.

Згідно з означенням при знаходженні частинної похідної  обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної x, вважаючи змінну  сталою, а при знаходженні похідної  сталою вважається змінна x. Тому частинні похідні знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функцій однієї змінної.

Частинна похідна  (або) характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі (або).

З’ясуємо геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних. Графіком функції  є деяка поверхня (рис 1). Графіком функції  є лінія перетину цієї поверхні з площиною. Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, отримаємо, що, де– кут між віссю  і дотичною, проведеною до кривої  в точці. Аналогічно.

Рисунок 1 – Геометричний зміст частинних похідних

Для функції  n змінних можна знайти n частинних похідних:

,

де

,

.

Щоб знайти частинну похідну, необхідно взяти звичайну похідну функції  за змінною, вважаючи решту змінних сталими.

Якщо функція  задана в області  і має частинні похідні  в усіх точках, то ці похідні можна розглядати як нові функції, задані в області.

Якщо існує частинна похідна за x від функції, то її називають частинною похідною другого порядку від функції  за змінною x і позначають  або .

Таким чином, за означенням

або.

Якщо існує частинна похідна від функції  за змінною, то цю похідну називають мішаною частинною похідною другого порядку від функції і позначають, або.

Отже, за означенням

або .

Для функції двох змінних  можна розглядати чотири похідні другого порядку:

.

Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції, їх вісім:

.

Виникає запитання: чи залежить результат диференціювання від порядку диференціювання? Інакше кажучи, чи будуть рівними між собою мішані похідні, якщо вони взяті за одними і тими самими змінними, одне й те саме число разів, але в різному порядку? Наприклад, чи дорівнюють одна одній похідні

і  або  і?

У загальному випадку відповідь на це запитання негативна.

Проте справедлива теорема, яку вперше довів К.Г.Шварц.

Теорема (про мішані похідні). Якщо функція визначена разом із своїми похідними  в деякому околі точки , причому похідні  та  неперервні в точці, то в цій точці

.

Аналогічна теорема справедлива для будь-яких неперервних мішаних похідних, які відрізняються між собою лише порядком диференціювання.

2 Диференційованість функції

похідна диференціал функція змінна

Нехай функція  визначена в деякому околі точки. ............