МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Выполнил

студент 5 курса

математического факультета

Чупраков Дмитрий Вячеславович

_____________________/подпись/

Научный руководитель:

д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов

_____________________/подпись/

Рецензент:

к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных

_____________________/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов

                                      (подпись)                                “__” _________

Декан факультета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина

                                      (подпись)                                “__” _________

Киров

2005

Содержание. 2

Введение. 3

Глава 1. 5

1.1. Базовые понятия и факты.. 5

1.2. Простое расширение Q+(a) 5

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. 7

Глава 2. Однопорожденные полуполя. 9

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел  9

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом. 11

2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом  12

2.4. Примеры.. 20

Литература. 22

Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа

Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.

Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.

В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.

Основными результатами работы являются:

·     Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.

·     Теорема 2.3.1. Если , то  – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида .

·     Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что  и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность     задается следующим образом:

Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.

·     Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел  расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.