Министерство высшего образования Российской Федерации
    ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РЕФЕРАТ
    
    НА ТЕМУ: "ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА" Факультет: ФТиКМ Группа: РТС-99 Студент: Коцурба А.В. Преподаватель: Лебедева Г.А.
    
    
    Иркутск
    1999 Поверхности второго порядка
    Поверхности второго порядка - это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. 1. Эллипсоид.
    Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением: (1)
    Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
    Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h - любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
     (2) Исследуем уравнения (2) при различных значениях h. 1) Если > c (c>0), то и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует. 2) Если , то и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (плоскости касаются эллипсоида). 3) Если , то уравнения (2) можно представить в виде откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями и . При уменьшении значения и увеличиваются и достигают своих наибольших значений при , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой эллипс с полуосями и . Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой. 2. Однополосный гиперболоид.
    Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
    (3)
    Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
    Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
     и из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
    Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
     или (4) из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и , достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy. Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида. 3. ............