Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
    Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности:
    1) появление некоторого события А;
    2) появление события , (события, являющегося дополнением А)
    Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0(.p(1). Вероятность P() события обозначим через q: P() = 1- p=q.
    Примерами таких испытаний могут быть:
    1) подбрасывание монеты: А - выпадение герба; - выпадение цифры.
     P(A) = P() = 0,5.
    2) бросание игральной кости: А - выпадение количества очков, равного пяти, выпадение любого количества очков кроме пяти.
     P(A) =1/6, P() =5/6.
    3) извлечение наудачу из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, одного шара (с возвращением): А - извлечение белого шара, - извлечение черного шара
     P(A) = 0,7; P() = 0,3
    Пусть произведено n испытаний, которые мы будем рассматривать как один сложный случайный эксперимент. Составим таблицу из n клеток, расположенных в ряд, пронумеруем клетки, и результат каждого испытания будем отмечать так: если в i-м испытании событие А произошло, то в i-ю клетку ставим цифру 1, если событие А не произошло (произошло событие ), в i-ю клетку ставим 0.
    Если, например, проведено 5 испытаний, и событие А произошло лишь во 2-м и 5-м испытаниях, то результат можно записать такой последовательностью нулей и единиц: 0; 1; 0; 0; 1.
    Каждому возможному результату n испытаний будет соответствовать последовательность n цифр 1 или 0, чередующихся в том порядке, в котором появляются события A и в n испытаниях, например:
     1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; ... 0; 1; 1; 0
    ((((((((((((((
    n цифр
    Всего таких последовательностей можно составить (это читатель может доказать сам).
    Так как испытания независимы, то вероятность P каждого такого результата определяется путем перемножения вероятностей событий A и в соответствующих испытаниях. Так, например, для написанного выше результата найдем
     P = p?p?q?p?q?p?q?q?...?q?p?p?q
    Если в написанной нами последовательности единица встречается х раз (это значит, что нуль встречается n-x раз), то вероятность соответствующего результата будет pnqn-x независимо от того, в каком порядке чередуются эти x единиц и n-x нулей.
    Все события, заключающиеся в том, что в n испытаниях событие A произошло x раз, а событие произошло n-x раз, являются несовместными. Поэтому для вычисления вероятности объединения этих событий (или суммы этих событий), нужно сложить вероятности всех этих событий, каждая из которых равна pnqn-x . Всего таких событий можно насчитать столько, сколько можно образовать различных последовательностей длины n, содержащих x цифр "1" и n-x цифр "0". Таких последовательностей получается столько, сколькими способами можно разместить x цифр "1" (или n-x цифр "0") на n местах, то есть число этих последовательностей равно
    Отсюда получается формула Бернулли:
     Pn(x) =
    По формуле Бернулли рассчитывается вероятность появления события A "x" раз в n повторных независимых испытаниях, где p - вероятность появления события A в одном испытании, q - вероятность появления события в одном испытании.
    Сформулированные условия проведения испытаний иногда называются "схемой повторных независимых испытаний" или "схемой Бернулли"
    Число x появления события A в n повторных независимых испытаниях называется частотой.
    Пример. ............