Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
    1. Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения , где - алгебраическая или трансцендентная функция.
    Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).
    В общем случае решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:
    1) отделение (локализация) корня;
    2) приближённое вычисление корня до заданной точности.
    2. Отделение корня. Отделение действительного корня уравнения - это нахождение отрезка , в котором лежит только один корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации) корня.
    Наиболее удобным и наглядным является графический метод отделения корней:
    1) строится график функции , и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью , которые и являются корнями уравнения ;
    2) если - сложная функция, то её надо представить в виде так, чтобы легко строились графики функций и . Так как , то . Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения .
    Пример.Графически отделить корень уравнения .
    Решение. Представим левую часть уравнения в виде . Получим: Построим графики функций и .
    Абсцисса точки пересечения графиков находится на отрезке , значит корень уравнения .
    3. Уточнение корня.
    Если искомый корень уравнения отделён, т.е. определён отрезок , на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.
    Такая задача называется задачей уточнения корня.
    Уточнение корня можно производить различными методами:
    1) метод половинного деления (бисекции);
    2) метод итераций;
    3) метод хорд (секущих);
    4) метод касательных (Ньютона);
    5) комбинированные методы.
    4. Метод половинного деления (бисекции).
    Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.
    Такой метод можно применять, если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие (1).
    Разделим отрезок пополам точкой , которая будет приближённым значением корня .
    Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.
    Из отрезков и выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).
    В нашем случае это отрезок , где .
    Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность . Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства .
    Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).
    Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.
    Пример. ............