МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Произведение двух групп

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Закревская С.А.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1 О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

2 О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

3 Произведение разрешимой и циклической групп

3.1. Вспомогательные результаты

3.2. Доказательства теорем 1 и 2

Заключение

Список литературы

Введение

Данную работу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В ней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса , произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведением разрешимой и циклической групп.

Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:

Теорема 1.1 . Если  и  - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа  разрешима.

Теорема 1.2 . Пусть  - группа Шмидта, а  - группа с циклической подгруппой индекса . Если  и  - конечная неразрешимая группа, то  изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 1.3 . Пусть  - 2-разложимая группа, а группа  имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если  и  - конечная неразрешимая группа, то  изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 2.1 . Пусть конечная группа , где  и  - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда  разрешима,  и  для любого простого нечетного .

Теорема 2.2 . Если группы  и  содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа  сверхразрешима.

Теорема 2.3 . Пусть конечная группа , где  - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа  содержит циклическую подгруппу индекса . Если в  нет нормальных секций, изоморфных , то  сверхразрешима.

Теорема 3.1 . Пусть конечная группа  является произведением разрешимой подгруппы  и циклической подгруппы  и пусть . Тогда , где  - нормальная в  подгруппа,  и  или  для подходящего .

Теорема 3.2 . Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Теорема 3.3 . Если  - простая группа, где  - холловская собственная в  подгруппа, а  - абелева -группа, то  есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если  циклическая, то  есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

1. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

Доказывается, что конечная группа  разрешима, если группы  и  содержат циклические подгруппы индексов . ............