Введение

Пространства Соболева  и тесно связанное с ним понятие обобщённой производной в смысле Соболева были введены в математическую практику академиком С.Л. Соболевым и играют важнейшую роль в теоретических и прикладных вопросах математической физики и функционального анализа. Пополнение пространства гладких функций  некоторыми идеальными элементами, которые можно с любой степенью точности вычислить с помощью элементов из  приводит, с одной стороны, вследствие полноты  к точности и завершённости многих математических утверждений, а с другой стороны, сохраняет все вычислительные возможности.

1. Пространства Соболева 1.1 Общее определение

Пусть в  задана замкнутая ограниченная область  Рассмотрим линейное пространство вещественных функций   раз непрерывно дифференцируемых на  Дифференцируемость на замкнутой области  можно понимать в различных смыслах. Мы будем предполагать, что в  функции   раз непрерывно дифференцируемы, причём каждая частная производная функции  имеет предел при стремлении  к любой граничной точке области  так что в результате её продолжения на  она становится непрерывной в  Граница  области  предполагается достаточно гладкой. Кроме того, обычно мы будем считать область  односвязной и удовлетворяющей таким дополнительным ограничениям, которые могут понадобиться в тех или иных рассуждениях.

Воспользуемся для краткости следующими обозначениями. Набор индексов  называется мультииндексом. Число  называется длиной мультииндекса. Для обозначения частных производных примем

Введём в рассмотренном выше линейном пространстве норму

                                                                (1.1)

Полученное нормированное пространство обозначается  Его пополнение в норме (1.1) обозначается  и называется пространством Соболева.

В прикладных задачах довольно часто встречается случай  Общепринято следующее обозначение:  Пространство Соболева  является гильбертовым пространством – пополнением пространства  в норме, порождённой скалярным произведением

Ниже мы подробнее остановимся на частных случаях  и  то есть рассмотрим пространства Соболева на вещественной оси и в трёхмерном пространстве.

1.2 Пространство

Рассмотрим на отрезке  пространство  состоящее из всевозможных функций  непрерывно дифференцируемых на  со скалярным произведением

                                                       (1.2)

и соответствующей этому скалярному произведению нормой

                                                                      (1.3)

 является пополнением  в этой норме. Элементами  согласно теореме о пополнении, являются классы, состоящие из последовательностей  фундаментальных в  в среднем, точнее, таких, что

 при

Две такие последовательности  и  принадлежат одному классу, если  является бесконечно малой по норме  то есть, если

 при

Из условия фундаментальности в среднем  в  следует, что отдельно при

Аналогично, из условия эквивалентности  и  по норме  следует, что при

Согласно определению пространства  существуют функции  и  такие, что при   а  в среднем.

Мы приходим к следующему важнейшему определению. ............