Практическое занятие

“Расчет оптимизационных моделей”

Оптимизационные модели

Обширный класс экономико-математических моделей образуют оптимизационные модели, позволяющие выбирать из всех решений самый лучший оптимальный вариант. В математическом смысле оптимальность понимается как достижение экстремума (максимума или минимума) критерия оптимальности, именуемого также целевой функцией. Оптимизационные задачи решаются посредством выполнения моделей с помощью методов математического программирования, реализуемых обычно с применением электронно-вычислительной техники.

Оптимизационная модель формируется в общем виде следующим образом: "Надо отыскать значения управляемых параметров (показателей) x1,x2,…..xn, характеризующих управляемый экономический объект или процесс, придающие максимальное или минимальное значение целевой функции F(x1,x2,…..xn,)при соблюдении ограничений, накладываемых на область изменения показателей x1,x2,…..xn,, и связей между ними в виде f(x1,x2,…..xn,)£a". Если целевая функция, ограничения, связи между искомыми показателями выражены в виде линейных зависимостей, то оптимизационная модель сводится к задаче линейного математического программирования и саму модель также называют линейной.

Оптимизационные модели чаще всего используются в задачах отыскания лучшего способа использования экономических ресурсов, позволяющего достичь максимальный целевой эффект. Кстати математическое программирование возникло на основе решения задачи об оптимальном раскрое листов фанеры, обеспечивающем наиболее полное использование материала. Поставивший эту задачу известный российский математик и экономист академик Л.В. Канторович был впоследствии удостоен Нобелевской премии по экономике.

Задача 1. Простейшая задача на максимизацию прибыли компании

Компания производит два продукта в количестве x1 и x2 тонн за месяц соответственно. Тонна первого продукта приносит 12 тысяч гривен прибыли, а тонна второго продукта - 8 тысяч гривен. Производственные мощности компании позволяют выпускать не более 100 тонн двух продуктов вместе, при этом производство первого продукта не может превышать более чем в три раза производство второго. Надо определить оптимальный объем производства, приносящий компании максимальную прибыль.

Применительно к данной задаче целевая функция (критерий оптимальности) имеет вид:

F(x1, x2,…..xn,)=F(x1, x2)=12x1 +8x2 тысяч гривен

Объемы выпуска x1 и x2 есть заведомо положительные величины, то есть

x1 ³0; x2 ³0

Между значениями x1 и x2 имеются связи

x1 + x2 £100

x1 £ 3 x2

Таким образом, подходим к типичной задаче линейного математического программирования, когда надо отыскать значения управляющих параметров x1, x2, придающие максимальное значение целевой функции 12x1 +8x2 с учетом фиксированных связей и ограничений.

Постановку и решение этой задачи удобно проиллюстрировать графически, отобразив связи и ограничения в системе координат параметров x1, x2, как изображено на рис. 3.1.

0 20 40 60 75 80 100 120

Рисунок.3.1. - Графическая интерпретация задачи

В силу положительных значений параметров x1 и x2 (x1³0;x2³0) решение следует искать в первом квадранте. Ограничение по суммарному выпуску (x1 + x2 £100) сужает область поиска до находящейся внутри треугольника ОАС, ограниченного сверху прямой x1 + x2 =100. ............