1. Краткое математическое описание методов расчёта

1.1. Общие положения

Цифровой фильтр полностью описывается своим разностным уравнением:

                                                             (1)

Для нерекурсивного цифрового фильтра  и уравнение принимает вид:

                                                                                (2)

Зная коэффициенты разностного уравнения, можно легко получить выражение для передаточной функции фильтра (для НЦФ):

                                                                                  (3)

Для образа выходного сигнала НЦФ справедливо выражение

,                                                                             (4)

где  – z-преобразования выходного и входного сигналов фильтра.

Зная выражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка  равно 1, можно получить выражение для z-образа импульсной характеристики :

                                                                      (5)    

Из (5) следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентам разностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточная функция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным).

Заменив в (4) z на , получим комплексную частотную характеристику:

                                                                          (6)

Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье:

                                                                (7)

                                                                       (8)

Из комплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ:

           (9)

                                              (10)

Во все вышеприведённые формулы входит интервал квантования . Чтобы от него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощью замены:

                                                                                            (11)

Так как интервал определения , то интервал определения . Исходными данными для проектирования фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённости АЧХ некоторым образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы» характеристики в точках разрыва первого рода – «скачках»). В простейшем случае доопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемого полосового фильтра будет выглядеть таким образом.

Аналитически АЧХ будет записываться в виде:

                                                         (12)

При проектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В [1] показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либо симметричной (), либо антисимметричной (). Учитывая, что порядок фильтра  может быть чётным и нечётным, существует четыре вида ИХ с линейной ФЧХ:

1.  N – нечётное, ИХ – симметричная

2.  N – чётное, ИХ – симметричная

3.  N – нечётное, ИХ – антисимметричная

4.  N – чётное, ИХ – антисимметричная

цифровой фильтр выборка частотный

1.2 Метод частотной выборки

Основная идея метода частотной выборки – замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту дискретизированной. ............