Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
    
    Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn}.
    
    В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
    
    Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа ( можно указать номер N такой, что при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:
     |xn-a|0. Пусть N - номер, соответствующий этому (, начиная с которого выполняется неравенство:
     |yn-b|. Поэтому при n(N имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.
    
    ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.
    
    Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b - пределы последовательностей {xn} и {yn}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+(n, yn=b+(n, то
     . Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.
    
    Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.
    
    ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству xn(b (xn(b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а(b (a(b).
    
    Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn(b. Предположим, что а n1) - в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут "перепрыгнуть" ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной (. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не "медленно восходящей", а "медленно нисхожящей". ЗАДАЧА № 4 Пусть для последовательности t1, t2, ... , tn, ... существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел ..., что для каждого n . Тогда числа t1, t2, ... , tn, ...лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами. РЕШЕНИЕ: Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу. ЗАДАЧА № 5 Пусть v1, v2, ... , vn, ... - положительные числа, v1 ( v2 ( v3 ... ............