Симметpия относительно окpужности С.А. Ануфриенко
    Симметpия, как бы шиpоко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью котоpой человек в течение веков пытался объяснить и создать поpядок, кpасоту и совеpшенство.
    Геpман Вейль Введение
    Со временем замечаешь, как непохожи друг на друга пути, ведущие к решению красивых геометрических проблем. Бесконечность возможных направлений поиска многих людей приводит в трепет, но одновременно дает хорошую надежду отыскать свою собственную дорогу в геометрическом лабиринте. В любом случае открытие метода, позволяющего решить целый ряд сложных задач, является событием большой редкости. Об одном из таких методов и пойдет речь в этой статье. Мы начинаем с перечисления некоторых классических проблем, решения которых будут приведены позже.
    A. Четыре окружности ?1, ?2, ?3 и ?4 расположены таким образом, что ?i касается ?i+1 для i < 4, а ?4 касается ?1. Образуются четыре точки касания. Доказать, что найдется окружность, проходящая через все эти точки.
    B. Разделить с помощью циркуля данный отрезок [AB] на n равных частей (n ? N).
    C. Только с помощью циркуля найти центр данной окружности.
    D. Даны точки A, B, C, D и окружность ?. Только с помощью циркуля найти пересечение прямых (AB) и (CD), а также точки пересечения прямой (AB) с окружностью ? (задачи геометрии Мора-Маскерони).
    E. Построить окружность, которая проходит через две данные точки A и B и касается данной окружности ?1.
    F. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных окружностей.
    G. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).
    H. Для двух различных точек A и B и положительного числа k найти геометрическое место точек X, для которых отношение ?XA?/?XB? равно k ? 1 (окружность Аполлония).
    I. Для произвольного треугольника через r, R и d обозначим соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Доказать, что d2 = R2-2Rr (формула Эйлера). Инверсия и ее свойства
    В 1831 году Л. Дж Магнус впервые стал рассматривать преобразование плоскости, которое получило название симметрии относительно окружности или инверсии (от лат. inversio - обращение). Под инверсией плоскости ? относительно окружности ?(O,R) с центром в точке O и радиусом R понимают такое преобразование множества ?\{O}, при котором каждой точке A ? ?\{O} ставится в соответствие такая точка A?, что A? лежит на луче [OA) и ?OA?·?OA?? = R2 (далее будем использовать обозначение invOR(A) = A?). Заметим сразу, что инверсия не определена в точке O, но иногда бывает полезно добавить к плоскости одну бесконечно удаленную точку, т.е. рассмотреть множество ??{?} и при этом считать, что invOR(O) = ? и invOR(?) = O.
    На рис. 1 указан способ построения образа точки A при инверсии относительно окружности ? = ?(O,R). Для этого проводят перпендикуляр (AB) к прямой (OA) и из точки пересечения ??(AB) проводят касательную к окружности ?. Из подобия треугольников ?OAB и ?OBA? получаем отношение ?OA?/ ?OB? = ?OB?/ ?OA?? или
    ?OA?·?OA?? = ?OB?2 = R2. Следовательно invOR(A) = A?.
    
    Рис. 1
    На рис. 2 построение образа выполнено только с помощью циркуля (в предположении, что ?OA? > R/2). Для этого достаточно провести окружность
    ?(A,?OA?) и для двух точек пересечения ?(O,R)??(A,?OA?) построить равные окружности ?(B,R) и ?(C,R). ............