Соотношения неопределенностей в операторной форме

Содержание: Сопряжённые динамических переменных ([импульс-координата]; [энергия-время]; [момент импульса-угол поворота]). Квант действия. Принцип исключения в операторной форме, определяющий возможность совместного измерения динамических переменных.

Принцип неопределённости и его операторные выражения.

7.2. Поставим фундаментальный вопрос: «Зависит ли результат измерения от организации самой процедуры измерения? Можно ли сконструировать универсальные приборы для совместного измерения любых величин?» Если ответ положительный, то последовательность измерений любой пары физических величин не играет роли, и процедуры их измерения можно выполнять в любом порядке. Если же ответ отрицательный, следует ожидать, что изменяя порядок измерений, можно получить и иной результат. Исследуем эту ситуацию.

Предстоит решить очень важную проблему, связанную с возможностью совместного измерения различных динамических переменных. Для этого рассмотрим две динамические характеристики. Им соответствуют эрмитовы операторы  и , независимо преобразующие волновую функцию. В простейшем случае совместное измерение величин является комбинацией из двух последовательно выполняемых элементарных процедур. Как это выглядит математически?

Первичному измерению величины отвечает преобразование вида A = . После дующее вслед за величиной измерение величины порождает вторичное преобразование вида B=A = . В целом последовательности двух измерений отвечает цепочка из двух преобразований волновой функции в виде операторного уравнения вида:

B = .

7.2.3. Меняя порядок измерения величин, следует в общем случае ожидать и иного результата. Если первой измерена величина , а второй величина то первое измерение отображается преобразованием C = , а второе измерение уже D=C = , так что

D = .

Две эти разные последовательности измерений двух величин порождают два конечных результата B и D. В общем случае они могут не совпадать, но не исключён и нулевой результат. Составим их разность, и соберём все операторы слева от символа преобразуемой волновой функции, используя свойство ассоциативности эрмитовых операторов:

= .

Оператор  называется коммутатором (по-русски «перестановщик»).

7.2.4. Мы подготовились к очень важным заключениям, а именно:

а) если итог двух последовательных измерений независим от порядка их осуществления, то коммутатор должен быть нулевым:

, т.е.

 .

Компактно это выглядит как: .

б) если итог двух последовательных измерений всё же зависит от порядка их выполнения, то , т.е.

.

Коммутатор здесь не равен нулю: .

7.2.5.1. При нулевом коммутаторе  порядок измерений не влияет на получаемую количественную информацию, и обе величины и могут быть измерены совместно (в одном едином общем эксперименте с помощью единого прибора).

7.2.5.2. Если коммутатор  ненулевой, то получаемая информация зависит от последовательности измерений, и величины и в одном приборе в принципе совместно не могут быть измерены.

Что же имеет место в природе на самом деле? Попробуем получить ответ.

7.3.Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

7.3.1. Накоплена достаточная информация, чтобы решить одну из важнейших проблем квантовой механики, связанную с совместными измерениями динамических переменных.

Исследуем, можно ли измерить:

- импульс частицы, находящейся в определённой точке пространства;

- момент импульса вращающейся частицы в определённой точке орбиты;

- энергию системы в конкретный момент времени.

7.3.2. ............