Сопряжённые числа Н. Вагутен
    В этой работе мы рассмотрим ряд ситуаций, в которых число вида a + bvd полезно заменить сопряжённым a - bvd. Мы увидим, как этот простой приём - замена знака перед радикалом - помогает в решении разнообразных задач алгебры и анализа - от нехитрых оценок и преобразований до трудных олимпиадных задач и замысловатых придумок составителей конкурсных экзаменов.
    Большинство наших примеров может служить первым знакомством с глубокими математическими теориями (кое-где мы указываем статьи и книги для продолжения знакомства). Среди задач, включённых в статью, две - из Задачника "Кванта" и несколько - из писем читателей, уже испытавших удовольствие от трюков с радикалами и желающих поделиться им с другими.
    Пары сопряжённых чисел появляются вполне естественным образом, когда мы решаем квадратное уравнение, а корень из дискриминанта не извлекается: скажем, уравнение ?2 - ? - 1 = 0 имеет пару "сопряжённых" корней:
    ?1 = 1 - v5
    2 и ?2 = 1 + v5
    2 .
    К этому мы ещё вернёмся, а начнём с примеров другого рода: займёмся "перебросками"...
    ...Из числителя в знаменатель (и обратно)
    Если в книжке указан ответ к задаче (3 + v7)/2, а у вас получилось 1/(3 - v7) - не спешите искать ошибку в решении: ответ правильный - эти числа равны, потому что
    (3 + v7)(3 - v7) = 32 - 7 = 2.
    Вот несколько характерных примеров, где полезно перенести "иррациональность" из числителя в знаменатель или наоборот.
    1. Найти сумму
    1
    1 + v2 + 1
    v2 + v3 + ... + 1
    v99 + v100 .
    Эта сумма мгновенно "сворачивается", если переписать её так:
    (v2 - 1) + (v3 - v2) + ... + (v100 - v99) = -1 + 10 = 9.
    По выражению из статьи [1] "остаются крайние" (см. также [5]).
    2. Доказать, что для любых натуральных m и n
     m
    n - v2 ? 1
    ?n2 , (1)
    где ? = v3 + v2.
    Подобный факт мы использовали недавно при решении трудной задачи М514 ([2]).
    В самом деле, всегда
     m - nv2
    n = |m2 - 2n2|
    (m + nv2)n ? 1
    (m + nv2)n , (2)
    поскольку число |m2 - 2n2| - целое и отлично от 0 (равенство m2 = 2n2 невозможно - подумайте, почему!). Если бы выполнялось неравенство, противоположное (1), то должно было бы быть m < nv2 + 1/?n и
    n(m + nv2) < n ( 2nv2 + 1
    ?n ) = 2n2v2 + 1
    v3 + v2 =
    = 2n2v2 + v3 - v2 ? n2(2v2 + v3 - v2) = ?n2. (3)
    Но из (2) и (3) следует (1). Значит, наше предположение неверно, то есть (1) выполнено.
    Неравенство (1) показывает, что число v2 сравнительно плохо приближается дробями с небольшими знаменателями; аналогичное неравенство (только с другим коэффициентом ?) выполнено не только для v2, но и для любой "квадратичной иррациональности". Разумеется, (1) выполнено и при всех ? > v3 + v2, но константа v3 + v2 здесь не наименьшая из возможных. Вопросы о приближениях квадратичных иррациональностсй рациональными числами - далеко продвинутая и важная для приложений область теории чисел ([3], [4]); с приближениями числа v2 мы ещё встретимся ниже (см. упражнение4).
    [Если при решении этой задачи рассмотреть отдельно случаи n=1 и n?1, то можно показать, что
     m
    n - v2 ? 1
    ?n2 .
    Оно лишь немного сильнее, чем неравенство (1), поскольку
    1
    ? = 0,3183... ............