Элементы комбинаторики
При решении вероятностных задач часто приходится в заданном множестве выбирать подмножества, обладающие определенными свойствами. Поскольку в таких задачах речь идет про те или иные комбинации объектов, то их называют комбинаторными задачами.
Множество наз. Упорядоченным, если в нем указан порядок следования элементов. Например
Основные правила комбинаторики
1.Правило суммы
Пусть из множества А элемент а1 можно выбрать n1 способами, элемент а1-n1 способами, а2-n2 способами,…, аk-nk спосбами. Тогда выбор одного из этих элементов или а1, или а2,…, или аk можно произвести n1+n2+…+nk способами.
2.Правило произведения
Пусть из множества А элемент а1 можно выбрать n1 способами, элемент а1-n1 способами, а2-n2 способами,…, аk-nk спосбами. Тогда одновременный выбор элементов а1,а2,…,аk можно выбрать n1*n2*…*nk способами.
Пример
Из 3-ех классов спорт. школы нужно составить команду для соревнований, взяв по одному ученику из класса. Сколько команд можно составить, если в одном классе 18 учеников, в другом-20, в третьем-22.
Решение:n1=18, n2-20, n3=22
n1*n2*n3=18*20*22=7820 способов.
Основные соединения комбинаторики.
1)Размещения
Пусть множество А состоит из n элементов. Будем выбирать из оттого множества упорядоченные множества, состоящие из k элементов. Такие подмножества будут называться размещениями из n элементов по k. Размещения отличаются друг от друга как элементами, так и порядком.
Например , из множества составим размещения по 2 элемента. ,,,,,
Число размещений из n элементов по k обозначают и вычисляют по формуле: ; (0!=1)
2)Перестановки из n элементов k
Перестановками из n элементов по k называют размещения, у которых n=k. Перестановки отличаются только порядком элементов. ; ; ; ;;
Число перестановок из n элементов по k (n=k):
3)Сочетания из n элементов по k
Пусть мн-во А состоит из n элементов. Из него будем выбирать неупорядоченные подмножества, содержащие k элементов, которые будут называться сочетаниями из n элементов k. Сочетания различаются между собой только элементами. : ,,
Число сочетаний из n элементов по k:
Примеры:
1)Студентам нужно сдать сдать 4-ре экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно составить расписание?
(2,3,7,8) Из множества, содержащего 8 элементов выбираем подмножества по 4 элемента, порядок которых нам не безразличен, следовательно число способов:
2)На 4-ех карточках написаны цифры 0,1,2,3. Сколько различных четырехзначных чисел чисел можно составить из этих карточек?
4!-3!=24-6=18
3)В хоккейном турнире участвует 6 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр будет сыграно в турнире?
Т.к в выбираемых множествах по 2 элемента из 6, порядок безразличен, то кол-во игр=числу сочетаний из 6 по 2:
4)6 друзей собрались на встречу. Один из них произнес тост: собираться столько лет пока каждый не посидит на новом месте.
Испытания и события. Виды событий
В любой точной науке существуют основные понятия. Если в геометрии это: точка, прямая, плоскость, то в теории вероятности основными понятиями являются испытания, события, вероятность.
Испытание(опыт)-осуществление какого-либо комплекса условий.
Испытанием будет являться бросание игральной кости.
Событие(исход)-результат испытания.
События могут быть достоверными, невозможными, случайными.
Достоверное событие-событие, кот. ............