§1. Топологические пространства

(предварительные сведения)

1.1.  Непрерывные отображения топологических

пространств

Пусть Х и Y топологические пространства.

Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз  f –1(О) открыт  в пространстве Х.

Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X→Y справедливо следующее равенство:

            (1).

Теорема 1.1. Отображение f : X→Y  является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз f –1(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество открыто в Х, в силу непрерывности отображения f  и равенства (1). Следовательно, множество f –1(F) замкнуто в Х.

Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому  замкнутое в Х множество. Следовательно, множество открыто в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y, полный прообраз открыт в Х и отображение f : X→Y непрерывное по определению. €

1.2. Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:

Х = О1  О2.

Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О1 и О2, не имеющих общих точек, то О1 = CO2 и O2 = CO1. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:

(1)  существуют непустые открытые множества О1 и О2, для которых О1 ∩ О2 = Æ  и  О1  О2 = Х;

(2)  существуют непустые замкнутые множества F1 и F2, для которых F1 ∩ F2 = Æ  и  F1  F2 = Х;

(3)  в  Х  существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;

(4)  существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.

Доказательство. ............