Содержание 1. Введение 3 1.1. Волны в природе 3 1.2. Открытие уединенной волны 4 1.3. Линейные и нелинейные волны 5 2. Уравнение Кортевега - де Фриса 8 2.1. Солитоны Кортевега - де Фриса 10 2.2. Групповой солитон 13 3. Постановка задачи 15 3.1. Описание модели 15 3.2. Постановка дифференциальной задачи. 15 4. Свойства уравнения Кортевега - де Фриза 16 4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ 16 4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ 17 5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ 19 5.1. Обозначения и постановка разностной задачи. 19 5.2. Явные разностные схемы (обзор) 21 5.3 Неявные разностные схемы (обзор). 23 6.Численное решение 25 7. Заключение 26 8. Литература 27
    1. Введение
    
    1.1. Волны в природе
    Из школьного курса физики [1] хорошо известно, что если в какой-либо точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом. При этом колебания, возбужденные в одном месте, распространяются в пространстве с определенной скоростью. Волной принято называть процесс передачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от одной точки к другой.
    Природа механизма распространения волны может быть различной. В простейшем случае связи между участками в среде могут быть обусловлены силами упругости, которые возникают из-за деформаций в среде. При этом в твердой упругой среде могут распространяться как продольные волны, при которых смещения частиц среды осуществляются в направлении распространения волны, так и поперечные волны, у которых смещения частиц перпендикулярны распространению волны. В жидкости или газе в отличие от твердых тел нет сил сопротивления сдвигу, поэтому могут распространяться только продольные волны. Хорошо известный пример продольных волн в природе - звуковые волны, которые возникают из-за упругости воздуха.
    Среди волн иной природы особое место занимают электромагнитные волны, передача возбуждений у которых происходит из-за колебаний электрического и магнитного полей. Среда, в которой распространяются электромагнитные волны, как правило, оказывает существенное влияние на процесс распространения волн, однако электромагнитные волны в отличие от упругих могут распространяться даже в пустоте. Связь между различными участками в пространстве при распространении таких волн обусловлена тем, что изменение электрического поля вызывает появление магнитного поля и наоборот.
    С явлениями распространения электромагнитных волн мы часто сталкиваемся в нашей повседневной жизни. К этим явлениям относятся радиоволны, применение которых в технических приложениях общеизвестно. В этой связи можно упомянуть работу радио и телевидения, которая основана на приеме радиоволн. К электромагнитным явлениям, только в другом частотном диапазоне, относится также свет, с помощью которого мы видим окружающие нас предметы.
    Очень важным и интересным типом волн являются волны на поверхности воды. Это один из распространенных видов волн, который каждый наблюдал еще в детстве и который обычно демонстрируется в рамках школьного курса физики. Однако, по выражению Ричарда Фейнмана [2], "более неудачного примера для демонстрации волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все трудности, которые могут быть в волнах".
    Если рассмотреть достаточно глубокий бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. ............