Дипломна робота

"Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп"

Зміст

Перелік умовних позначок

Введення

1. Підгрупа Фиттинга і її властивості

2. - довжина - розв'язної групи

3. Група з нильпотентними додаваннями до підгруп

4. Використовувані результати

Висновок

Список використаних джерел

Перелік умовних позначок

Розглядаються тільки кінцеві групи. Використовуються наступні позначення.

 - прості числа.

 - знак включення множин;

 - знак строгого включення;

 і  - відповідно знаки перетинання й об'єднання множин;

 - порожня множина;

 - множина всіх  для яких виконується умова ;

 - число  порівнянне із числом  по модулі .

 - множина всіх простих чисел;

 - деяка множина простих чисел, тобто ;

 - доповнення до  у множині всіх простих чисел; зокрема, ;

примарне число - будь-яке число виду , ;

 - множина всіх цілих позитивних чисел.

 - одинична група;

 - одинична матриця розмірності ;

 - повна лінійна група ступеня  над полем з  елементів, тобто група всіх не вироджених лінійних перетворень - мірного лінійного простору над полем з  елементів;

) - спеціальна лінійна група ступеня  над полем з  елементів.

) - проективна спеціальна лінійна група ступеня  над полем з  елементів, тобто факторгрупа спеціальної лінійної групи по її центрі

 - кінцеве поле порядку .

Нехай  - група. Тоді:

 - порядок групи ;

 - порядок елемента  групи ;

 - одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;

 - також одинична підгрупа групи ;

 - множина всіх простих дільників порядку групи ;

 - множина всіх різних простих дільників натурального числа ;

- група - група , для якої ;

- група - група , для якої ;

Група  називається:

примарною, якщо ;

бипримарною, якщо .

 - підгрупа Фратіні групи , тобто перетинання всіх максимальних підгруп групи ;

 - підгрупа Фиттинга групи , тобто добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи ;

 - комутант групи , тобто підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи ;

 - найбільша нормальна розв'язна підгрупа групи ;

 - найбільша нормальна підгрупа непарного порядку групи ;

 - найбільша нормальна - підгрупа групи ;

 - - холовська підгрупа групи ;

 - силовська - підгрупа групи ;

 - доповнення до силовської - підгрупи в групі , тобто -холовська підгрупа групи ;

 - група всіх автоморфизмов групи ;

 - головний ранг групи ;

 - - головний ранг групи ;

 -  є максимальною підгрупою групи ;

Нехай  - максимальний ланцюг підгруп, тобто  для всіх . Якщо  розв'язно, то всі індекси максимального ланцюга примарні, тобто . Тоді:

.

При введенні позначень  і  розглядаються всі максимальні ланцюги.

 - - довжина групи ;

 - нильпотентна довжина групи ;

 - похідна довжина групи ;

 -  є підгрупою групи ;

 -  є власною підгрупою групи ;

нетривіальна підгрупа - неодинична власна підгрупа;

 -  є нормальною підгрупою групи ;

 -  є мінімальною нормальною підгрупою групи ;

 -  є субнормальною підгрупою групи ;

 - підгрупа  характеристична в групі , тобто  для будь-якого автоморфізму ;

 - індекс підгрупи  в групі ;

;

 - ядро підгрупи  в групі , тобто перетинання всіх підгруп, сполучених з  в ;

 - підгрупа, породжена всіма підгрупами, сполученими з підгрупою  з  елементами  з , тобто ;

 - централізатор підгрупи  в групі ;

 - нормалізатор підгрупи  в групі ;

 - центр групи ;

 - циклічна група порядку ;

 - симетрична група ступеня ;

 - знакозмінна група ступеня .

Якщо  й  - підгрупи групи , то:

 - прямий добуток підгруп  і ;

 - напівпрямий добуток нормальної підгрупи  й підгрупи ;

 -  і  ізоморфні.

Дужки  застосовуються для позначення підгруп, породжених деякою множиною елементів або підгруп.

 - підгрупа, породжена всіма , для яких виконується .

Групу  називають:

- замкнутої, якщо ;

- нильпотентною, якщо ;

- розкладеної, якщо  й  нормальні в.

Ряд підгруп  називається:

субнормальним, якщо  для кожного ;

нормальним, якщо  для кожного ;

головним, якщо  для всіх .

Введення

Відомо, що кінцеві розв'язні групи можна охарактеризувати як кінцеві групи, у яких доповнені всі силовські підгрупи. ............