Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине "Математика - Алгебра" Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы. В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.
    Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства. Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij ? R Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок. Подстановка ?= 1 2 ... n называется взаимно-однозначное
    ?(1) ?(2) ...?(n) отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n! Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию: -если у подстановки четное число инверсии, то она четная; -если-нечетное число инверсий, то она нечетная. Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(? ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) ? = ? (единичная)-четная; 2) sgn (?--1 ) = sgn ? ; 3) одна транспозиция меняет четность подстановки. Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (? ) где ? -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.
    |A|=?sgn(?)a1? (1) a2? (2) ...an? (n) , A=(aij)n*n [СС1] приняты также обозначения для определителя: def A, ?. Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:
    1?. |A|=|At|,где Аt -трансионированная;
    2?. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;
    3?. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.
    4?. Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.
    5?. Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.
    6?. Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее определитель.
    7?. Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a1+...ak b1+...bk c1+....ck),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы. 8?. Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.
    и другие.
    Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) . Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.
    Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число (-1)i+j Мij Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца). Теорема 3 . |A|= a1jA1j +a2jA2j +....+anjAnj или
    |A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +...+ain Ain .
    Доказательство разобьем на три случая: Cлучай 1. a11...a1n
    |A|= a21...a2n = ann Mnn
    .........
    0......ann Воспользуемся для доказательства определением определителя |A|=?sgn(?)a1? (1) a2 ? (2)...a n-1,? (n-1) a n? (n) Так как в n-ой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в определителе кроме ann равны нулю. ............