Федеральное агентство по образованию

ФГОУ ВПО

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Алатырский филиал

Факультет управления и экономики

Кафедра высшей математики и информационных технологий

Курсовая работа

по дисциплине: Математическая логика

Элементы теории множеств

Выполнил студент

1 курса

группы - АФТ 61-06

Научный руководитель

проф. Мерлин А.В.

Алатырь

Введение

Теория множеств – раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.

До второй половины XIX века понятие «множества» не рассматривалось в качестве математического (множество книг на полке, множество человеческих добродетелей и т. д. — всё это чисто бытовые обороты речи). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор (рис. 1) разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством».

Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

И всё же Кантор считается основателем теории множеств, и сделал большой вклад в современную математику. Ему принадлежит следующая характеристика понятия «множество»: Множество — это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое.

Глава 1. ............