Дипломная работа

По теме

Структура некоторых числовых множеств

Введение

В 1870-х годах немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) создал теорию множеств — исключительно мощное и важное математическое учение, оказавшее огромное влияние на развитие современной математики. Теория множеств не только явилась фундаментом целого ряда новых математических дисциплин, но и оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики. Помимо прочего в канторовской теории множеств впервые были развиты конструктивные подходы к анализу проблемы бесконечности, более двух тысяч лет являвшейся лишь предметом филологических упражнений философов.

Теория множеств изучает общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие, оно не поддается определению, ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики.

Однако Кантор попытался определить данное понятие так: «Под множеством, - разъяснял Георг Кантор, - я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...» 1. Но эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела, и данная теория стала называться наивной теорией множеств.

Парадокс Рассела — открытая в 1903 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытая Эрнестом Цермело теоретико-множественная антиномия, демонстрирующая противоречивость наивной теории множеств Г. Кантора. Антиномия Рассела формулируется следующим образом: Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K самого себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом множеств, включающихся в К — вновь противоречие.

После этого теория множеств была аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая ряду аксиом (так называемая аксиоматика Цермело – Френкеля).

Множества могут состоять из самых различных элементов. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым разным областям знания.

Для математики особо важную роль играют множества, составленные из математических объектов, в частности числовые множества, о которых и пойдет речь в данной работе.

При написании этой дипломной работы мы задавались целью - изучить исходные понятия и важнейшие теоремы теории множеств, а также на основании данного материала, решить ряд нестандартных задач по выявлению структуры некоторых числовых множеств.

Данная работа состоит из трех глав: «Мощности бесконечных множеств», «Точечные множества», «Решение некоторых задач».

В первой главе приводится краткое историческое описание становления теории множетсв, определяются основные понятия, такие как мощность, счетное множество, континуальное множество, с которыми нужно ознакомиться для дальнейшей работы. Устанавливаются связи между ними и доказываются основные теоремы о мощностях бесконечных множеств. ............