Реферат по геометрии на тему
«Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках
2009 год
Цели:
Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках»
Задачи:
Систематизировать знания по этой теме
Подготовиться к задачам повышенной сложности в ЕГЭ
Теория
Вписанная окружность
Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника.
Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Описанная окружность
Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚.
Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность.
Взаимное расположение прямой и окружности:
AB – касательная, если OH = r
Свойство касательной:
AB ┴ OH (OH – радиус, проведенный в точку касания H)
Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки:
AB = AC
ﮮ BAO = ﮮ CAO
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2
Медиана
Медиана (от лат. mediana — средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними:
Площадь треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:
Прямоугольный треугольник
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:
Задачи:
Задача 1: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. ............