Высшая математика (шпаргалка)
    Осн. понятия
    Грани числовых мн-в
    Числовые последовательности
    Непр. ф-ции на пр-ке
    1. Осн. понятия
    Мат.модель - любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.
    Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. - число, которое можно представить в виде p/q где p и q - цел. числа. Иррац. - всякое вещественное число, которое не явл. рационал.
    Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2...аn... где а -люб. число, а а1, а2 ... аn числа, приним. целые знач.
    Некоторые числовые множества.
    Мн-ва - первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.
    Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х? вып-ся усл S(x)}.
    Подмн-ва - если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. А?В. А=В- мн-ва совпадают.
    Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} - обьединение мн-в А и В.
    А? В={х?х?А и х?В} пересечение мн-в А и В.
    А\ В={х?х?А, но х?В}дополн. к м-ву В во мн-ве А
    Числовые мн-ва
    R,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {х?а0 найдется такой номер N, для любого n >N:?xn-a?< ?
    Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.
    Связь сходящихся посл-тей и б/м.
    Дает сл. теорему
    Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+?n, где посл-ть {?n}?0, т.е. является б/м.
    Док-во
    а) Допустим, что xn?a и укажем посл-ть ?n удовл. равенству xn=a+?n. Для этого просто положим ?n=xn-a, тогда при n???xn-a? равно растоянию от xn до а ? 0 => ?n б/м и из равенства преобразования определяю ?n получаем xn=a+?n.
    Свойство б/м
    Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением.
    Т-ма о св-вах б/м
    а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м
    1) их сумма, разность и произведение являются б/м
    2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м
    !О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м.
    Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>N ?xn?>c.
    !Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б.
    Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7... явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.
    Св-ва сходящихся посл-тей
    Теорема "Об единственности пределов"
    Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.
    Док-во (от противного)
    {xn} имеет два разл. Предела a и b, а?b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. ............