Контрольная работа

 

Высшая математика

 

ЗАДАЧА 1.

 В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды .

Найдите:

а) длину ребра ;  

б) косинус угла между векторами  и ;

в) уравнение ребра ;

г) уравнение грани С1; если А1 (-2,2,2),В1(1,-3.0), С1(6,2,4), D1(5,7,-1).

 

Решение.

а) Найдем координаты вектора А1В1 по формуле

 где  - координаты точки А1, -координаты точки В1.

Итак ={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}. Тогда = =.

Итак, длина отрезка, (или длина векторе) равна . Это и есть искомая длина ребра.

б) Координаты ={3;-5;-2} уже известны, осталось определить координаты вектора ={6- (-2); 2 - 2; 4 - 2}= {8,0; 2}.

Угол между векторами и вычислим по формуле

cos φ =        (А1В1, А1С1)

         |А1В1|·| А1С1|

где скалярое произведение векторов А1В1  и А1С1  равно (,)=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20,

| |=, | |==.

Итак, cos φ =      20      =       10

                  ·    

в) Координаты точки А1(-2,2,2) обозначим соответственно Х0 = -2, У0 = 2, Z0 = 2, а координаты точки В1(1,-3,0) через X1 = 1, У1 = -3, Z1 = 0 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:

.

Следовательно, уравнение ребра имеет вид

.

г) Обозначим координаты векторов, и через Х1=3, У1= -5, Z1= -2 и  Х2=8, У2= 0, Z2=2 соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

·A1C1 = {Y1·Z2-Y2·Z1;Z1·X2-Z2·X1;X1·Y2-X2·Y2} =

= {(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}

Так как данный вектор перпендикулярен грани С1, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0 У0, Z0) перпендикулярно вектору {А;В;С}, которое имеет вид A·(X-X0)+B·(Y-Y0)+С·(Z-Z0)=0.

Подставим координаты точки А1 (Хо= -2, У0=2, Z0=2) и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в это уравнение:

- 10 ( X + 2 ) - 22 (У – 2) т 40 ( Z- 2) - 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены - 10 х -22 у + 40z + (-20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани,C1 имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0 или -5х- lly + 20z-28=0.

 

 

ЗАДАЧА 2.

Решите систему линейных уравнений

  а) методом Крамера;

  б) методом Гаусса;

 

 

Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см.[2] глава 10. стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

 

Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера ( см. [2] глава 10, стр. 268).

Тогда , где

Так как  Δx= -60; Δy= -60; Δz=60; Δ= -120, то x=; y=; z=.

6) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

Составим расширенную матрицу данной системы.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.

 

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. ............