Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа Сабитов К.Б., Бибакова С.Л.
    1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение:
    (1)
    где - комплексный параметр, в области D, ограниченный при кривой с концами в точках B (1, 0) и K (0, 1/4), лежащей в первом квадранте, отрезком AK оси OY, где A=(0, 0), и характеристиками AC () и CB () уравнения (1) при .
    Пусть
    Задача T. Найти значения параметра и соответствующие им функции , удовлетворяющие условиям:
    (2)
    (3)
    (4)
    (5)
    где при при
    Выбор значения k таковым объясняется тем, что для уравнения (1) при доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Трикоми [1].
    Спектральные задачи для оператора Лаврентьева-Бицадзе были рассмотрены в работах [2-4].
    В работах [5-8] изучены спектральные задачи для уравнения (1) с условиями Дирихле. В [5] для уравнения (1) в области эллиптичности построены решения первой краевой задачи и смешанной краевой задачи с помощью биортогональных рядов. В работе [6] уравнение (1) рассматривалось в D, где подобласть D+ ограничена отрезком NB оси y=0 , N=(-1, 0) , и дугой NB: а в работах [7-8] уравнение (1) изучалось в D при
    В данной работе найдены в явном виде собственные значения и соответствующие собственные функции, которые отличаются от результатов [6].
    2. Построение частных решений в области эллиптичности. В области D+ перейдем к новым переменным , В координатах уравнение (1) примет вид:
    
    где .
    Разделяя переменные получим:
    (6)
    (7)
    (8)
    (9)
    Известно [1], что решением уравнения (6) является функция Бесселя
    (10)
    Удовлетворяя (10) краевым условиям (7) и (8), имеем:
    (11)
    Теперь построим общее решение для уравнения (8). Для этого в (8) введем новую переменную Тогда оно примет вид:
    (12)
    Уравнение (12) является гипергеометрическим уравнением [9, с. 69], и поскольку не является целым числом, то общее решение уравнения (8) определяется по формуле
    (13)
    Функция (13) удовлетворяет первому граничному условию из (9). Удовлетворим (13) второму краевому условию из (9).
    (14)
    На основании равенств [10, с. 112]
    
    имеем уравнение для нахождения неизвестного :
    (15)
    В силу известных формул
    
    имеем:
    
    
    
    где
    Тогда с учетом того, что и равенство (15) примет вид:
    (16)
    Таким образом, в области D+ найдены частные решения уравнения (1), удовлетворяющие краевому условию (3):
    (17)
    3. Построение частных решений в области гиперболичности. В уравнение (1) в области D- сделаем замену переменных Тогда в координатах уравнение (1) примет вид:
    
    Разделив переменные получим:
    (18)
    (19)
    (20)
    (21)
    Решением уравнения (18) , удовлетворяющего условиям (19), является функция
    (22)
    Уравнение (20) так же, как и уравнение (12), является гипергеометрическим уравнением с аргументом . ............