Замечательные кривые в математике Прямая и окружность
    Прямая и окружность - две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные по своим свойствам кривые. Любой человек знаком с прямой и окружностью больше, чем с другими кривыми. Но пусть он не думает, что ему хорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей. Знает ли он, например, что если вершины двух треугольников АВС и A'B'C' лежат на трех прямых, пересекающихся в одной точке 5 (рис. 1), то тогда три точки М, К., L пересечения соответственных сторон треугольников АВ с А'В', ВС с В'С' и АС с А'С' должны находиться на одной и той же прямой?
    
    Рис. 1. Рис. 2.
    Читателю, конечно, известно, что точка М, которая движется по плоскости, оставаясь на равных расстояниях от двух неподвижных точек F1 и F2 той же плоскости, т. е. так, что MF1= MF2; описывает прямую (рис. 2). Но, вероятно, он затруднится ответить, какую кривую опишет точка М, если ее расстояние до точки F1 будет в определенное число раз превосходить расстояние до точки F2 (например, вдвое, как на рис. 3). Оказывается, что этой кривой является окружность. Следовательно, если точка М движется по плоскости так, что ее расстояние до одной из двух неподвижных точек F1 и F2 плоскости будет изменяться пропорционально расстоянию до другой точки:
    
    Рис. 3.
    
    MF1 = k MF2,
    то М будет описывать либо прямую (когда коэффициент пропорциональности k равен единице), либо окружность (когда коэффициент пропорциональности отличен от единицы).
    
    Рис. 4.
    Рассмотрим кривую, описываемую точкой М так, что сумма расстояний этой точки до двух неподвижных точек F1 и F2 остается неизменной. Возьмем нить, концы ее привяжем к двум булавкам и воткнем эти булавки в лист бумаги, оставляя сначала нить ненатянутой. Если оттянуть теперь нить с помощью вертикально поставленного карандаша и затем передвигать карандаш, слегка придавливая его к бумаге и следя за тем, чтобы нить была натянутой (рис. 4), то острие М карандаша опишет кривую овальной формы (похожую на сплющенный круг); она называется эллипсом.
    Чтобы получить полный эллипс, придется перекинуть нить на другую сторону от булавок, после того как будет описана одна половина эллипса. Очевидно, что сумма расстояний от острия М карандаша до булавочных проколов F1 и F2 остаётся неизменной во все время движения; эта сумма равна длине нити.
    
    Рис. 5.
    Проколы булавок отмечают на бумаге две точки, называемые фокусами эллипса. Слово фокус в переводе с латинского означает "очаг", "огонь"; оно оправдывается следующим замечательным свойством эллипса.
    Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге эллипса и поместить точечный источник света ("огонь") в одном фокусе, то лучи света, отразившись от полоски, соберутся в другом фокусе; поэтому и во втором фокусе будет также виден "огонь" - изображение первого (рис. 5.).
    
    Циклоида
    Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис. ............