Билеты по геометрии
    
    БИЛЕТ 1
    А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости
    и точки, не принадлежащие ей.
    А2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
    А3 Если две различные прямые имеют общую точку, то ч/з них можно провести плоскость, и притом только одну.
    
    БИЛЕТ 2
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
    ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
    Док-во: проведем ч/з а и М плоскость ?, а ч/з М в плоскости ? прямую b? ? a. Докажем, что b? ? a единственна.
    Допустим, что существует другая прямая b2? ? a, и проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести плоскость ?2, которая проходит ч/з М и а, след-но, по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она совпадает с ?. По аксиоме о параллельных прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.
    
    БИЛЕТ 3
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
    ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
    Док-во: Пусть ?-плоскость, а - не лежащая в ней прямая и а1 - прямая в плоскости ?,параллельная прямой а.
    
    Проведем плоскость ?1 ч/з прямые а и а1.
    Она отлична от ?, т.к. прямая а не лежит в плоскости ?. Плоскости ? и ?1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость ?, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость ?, а значит, параллельна плоскости ?. Ч.Т.Д.
    
    БИЛЕТ 4
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
    ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
    
    Док-во: Рассмотрим две плоскости ? и ?. В плоскости ? лежат пересекающиеся в т.М прямые a и b, а в ? - прямые а1 и b1, причем а? ? а1 и b? ? b1.
    Докажем, что плоскоскоти ? и ? не параллельны. Тогда они перес. по прямой с. Мы получили, что плоскость ? проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости ?, и пересекает плоскость ? по прямой с. Отсюда следует, что а? ? с.
    Но плоскость ? проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости ?. Поэтому b ? ? с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, ? ? с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только
    
    БИЛЕТ 5
    Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
    
    Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости ? и ? пересекаются с плоскостью ?. Докажем, что а? ? b.
    Эти прямые лежат в одной плоскости (?) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. ............