МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Севастопольский национальный технический университет

Кафедра технической кибернетики

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Вычислительные методы» на тему:

«Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты»

Выполнила: студентка гр. А-31д

Воротилова Я.М.

Проверил: Мирянов В.И.

Севастополь

2004

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Приведение к нормальной форме Коши

1.2 Метод Рунге-Кутты второго порядка

2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ

2.1 Основная программа

2.2 Функция вычисления точного решения

2.3 Процедура вычисления правых частей системы уравнений в нормальной форме Коши

2.4 Процедура RK2

2.5 Процедура RK4

3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ

3.1 Анализ влияния величины шага на точность интегрирования методами Рунге-Кутты второго и четвертого порядка

3.2 Проверка гипотезы Рунге

3.3 Исследование поведение ошибки интегрирования как функции независимой переменной для обоих методов Рунге-Кутты при различных значениях шага

3.4 Сравнительный анализ эффективности методов Рунге-Кутты при различных требованиях к точности вычисления

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая курсовая работа посвящена опытному исследованию свойств методов Рунге-Кутты и реализации на персональных компьютерах численных методов приближенного интегрирования ОДУ, наиболее часто применяющихся в практике моделирования и проектирования СА и У. Экспериментальные исследования проводятся с помощью составленных и отлаженных программ интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ.

Задание предполагает:

a)         закрепление теоретических навыков и знаний в вопросе о проблематике интегрирования ОДУ и численного решения задачи Коши методом Рунге-Кутты, изучение их основных свойств (точность, эффективность, устойчивость) и основных характеристик данных свойств (локальная и глобальная алгоритмические ошибки, порядок метода, ошибка вычисления и т.п.) ;

b)         приобретение основных навыков составления и отладки процедур и функций интегрирования на основе методов Рунге-Кутты и программ интегрирования систем дифференциальных уравнений с использованием все тех же процедур и функций;

c)         проведение опытных исследований зависимости точности, эффективности и устойчивости алгоритмов интегрирования от величины шага интегрирования и порядка метода Рунге-Кутты на ЭВМ.

В различных сферах технических и даже экономических отраслей приходится достаточно часто сталкиваться с математическими задачами, для которых не представляется возможным описать точное решение классическими методами или сие решение выражено крайне неудобочитаемыми соотношениями, которые представляют из себя неприемлемую для мозга пищу, не говоря уже об использовании или реализации на практике.

Разрабатываемые вычислительной математикой численные методы носят в основном ориентировочный характер, однако они позволяют получить итоговый числовой результат со сносной для практических нужд точностью. Численные методы представляют собой алгоритмы вычисления приблизительных значений искомого решения на определенной сетке значений аргумента. ............