Федеральное агентство по образованию РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

Кафедра геометрии

 

 

 

 

 

 

Гамильтоновы графы и сложность отыскания гамильтоновых циклов

КУРСОВАЯ РАБОТА

Научный руководитель

Старший преподаватель ______________

должн., уч. степень, уч. зван. подпись, дата инициалы, фамилия

Саратов 2010

Содержание

Введение

1.  Гамильтоновы графы

1.1 Основные определения и результаты

1.2 Теоремы достаточности гамильтонова графа

2.  Методы отыскания гамильтоновых циклов

2.1 Алгебраические методы

2.2 Метод перебора Робертса и Флореса

2.2.1 Улучшение метода Робертса и Флореса

Приложение

Заключение

Список литературы

Введение

 

Целью моей курсовой работы является:

1.  Ознакомление с основными понятиями, связанными с гамильтоновыми графами и циклами.

2.  Рассмотреть задачи и методы отыскания гамильтоновых циклов в графах

3. Создание программы для нахождения гамильтоновых циклов.

Прежде всего, чтобы внести ясность и уточнить терминологию, хотелось бы дать определения некоторым элементам графа таким, как маршрут, цепь, цикл.

Маршрутом в графе G(V,E) называется чередующаяся последовательность вершин и ребер: ,, … , , в которой любые два соседних элемента инцидентны. Если  = , то маршрут замкнут, иначе открыт.

Если все ребра различны, то маршрут называется цепью. Если все вершины (а значит, ребра) различны, то маршрут называется простой цепью.

Замкнутая цепь называется циклом; замкнутая простая цепь называется простым циклом. Граф без циклов называется ациклическим. Для орграфов цепь называется путем, а цикл — контуром.

1. Гамильтоновы графы

 

1.1 Основные определения и результаты

Название «гамильтонов цикл» произошло от задачи «Кругосветное путешествие» предложенной ирландским математиком Вильямом Гамильтоном в 1859 году. Нужно было, выйдя из исходной вершины графа, обойти все его вершины и вернуться в исходную точку. Граф представлял собой укладку додекаэдра, каждой из 20 вершин графа было приписано название крупного города мира.

Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа по одному разу, то такой цикл называется гамильтоновым циклом, а граф называется гамильтоновым графом. Граф, который содержит простой путь, проходящий через каждую его вершину, называется полугамильтоновым. Это определение можно распространить на ориентированные графы, если путь считать ориентированным.

Гамильтонов цикл не обязательно содержит все ребра графа. Ясно, что гамильтоновым может быть только связный граф и, что всякий гамильтонов граф является полугамильтоновым. Заметим, что гамильтонов цикл существует далеко не в каждом графе.

Замечание.

Любой граф G можно превратить в гамильтонов граф, добавив достаточное количество вершин. Для этого, например, достаточно к вершинам v1,…, vp графа G добавить вершины u1, …, up и множество ребер {(vi, ui)}  {(ui, vi+1)}.

Степенью вершины v называется число ребер d(v), инцидентных ей, при этом петля учитывается дважды. ............