Геометрия Лобачевского
    
    Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются общими как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского.
    Таким образом, все предложения абсолютной геометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная геометрия есть общая часть и общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.
    В первом случае мы получим геометрию Евклида, во втором случае -
    Геометрию Лобачевского. Отсюда ясно, что все сходное в геометриях Евклида и Лобачевского имеет свои основания в абсолютной Геометрии, а все то, что различно в них, коренится в различии аксиом параллельности.
    Укажем ряд важнейших планиметрических теорем, относящихся к абсолютной геометрии.
    1.1. Каждый отрезок и каждый угол можно единственным образом разделить пополам.
    1.2. Через каждую точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой.
    1.3. Сумма двух смежных углов равна 2d.
    1.4. Все прямые углы равны между собой.
    1.5. Вертикальные углы равны.
    1.6. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, углы при основании равны.
    1.7. Перпендикуляр короче наклонной. Известные теоремы о сравнении перпендикуляров, наклонных и их проекций.
    1.8. Внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного.
    1.9. Во всяком треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла.
    1.10. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно.
    1.11. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
    1.12. Сумма двух сторон треугольника больше третьей.
    1.13. Три признака равенства треугольников.
    1.14. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, или внутренние накркст лежащие углы равны, или сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то данные прямые не пересекаются.
    1.15. Два перпендикуляра к третьей прямой не пересекаются.
    1.16. Через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, ими определяемой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая данной.
    1.17. Сумма углов треугольника не более 2d(11-я теорема Лежандра).
    1.18. Если в плоскости две точки лежат по разные стороны прямой, то отрезок, их соединяющий, пересекает данную прямую.
    1.19. Если луч проходит через вершину треугольника внутрь его, то он пересекает противоположную сторону треугольника.
    1.20. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей внутри треугольника.
    1.21. В треугольник можно вписать единственную окружность.
    1.22. Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.
    1.23. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами, и обратно.
    1.24. Если выбрать единичный отрезок, то всякому отрезку можно поставить в соответствие единственное положительное число, называемое длинной отрезка, и, обратно, каждому положительному числу можно поставить в соответствие некоторый отрезок, длина которого выражается этим числом.
    1.25. ............