План. 1. Сопряженный оператор. 2. Сопряженная однородная задача. 3. Условия разрешимости. Сопряженный оператор. Обозначим через дифференциальный оператор второго порядка, т.е. (1) где представляют собой непрерывные функции в промежутке . Если и - дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем: (2) Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает: (3) Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через , т.е. (4) При этом соотношение (3) перепишется так: (5) Оператор называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы и взаимно сопряжены. Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение: (6) будем называть сопряженным дифференциальному уравнению: (7) Если же , то оператор и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что тогда и только, когда: Таким образом, оператор будем самосопряженным тогда и только тогда, когда . При этом: Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию . Дифференцируя соотношение (5) по , получаем так называемую формулу Лагранжа: (8) Правая часть этой формулы может быть записана как: (9) где (10) Отметим, что: и следовательно, матрица -невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает: (11) Сопряженная однородная задача. Введем следующее невырожденное линейное преобразование в вектор : (12), где Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку , мы можем обратить преобразование (12) и получить: . При этом (11) можно переписать как: или (13), где (14) Билинейная форма в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11). Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13) и и получим: (15) Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам: (16) (17) С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид: (18) При ненулевом векторе последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты и принимали любые требуемые значения, лишь бы и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия . При этом из соотношения (11) следует, что . Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства . При этом из соотношения (11) вытекает, что . Таким образом, задача, сопряженная задаче (19) имеет вид: (20) где и связаны с компонентами вектора соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда и каждая из двух компонент и является линейной комбинацией и , т.е. пропорциональна . Один из определителей: матриц-блоков должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. ............