Группы симметрий квадрата и куба
    О.А.Котий , Т.Л.Агафонова
    
    
    Хорошо знакомая школьнику фигура квадрат имеет четыре оси симметрии и центр симметрии (рис. 1). Это означает, что существует пять движений плоскости: четыре осевые симметрии и одна центральная, при которых квадрат отображается на себя. При этом некоторые вершины поменяются местами, а некоторые останутся неподвижными.
    Поставим более общую задачу: перечислить все движения, отображающие квадрат на себя.
    Легко увидеть, что таких преобразований 8. Кроме выше указанных четырех осевых симметрий есть еще четыре поворота вокруг центра O (на 0о, ? 90о, 180о). Сюда вошли и тождественное преобразование и центральная симметрия .
    Имеется более общее понятие, чем множество преобразований фигуры в себя - группа симметрий фигуры. Это такое множество преобразований, отображающих фигуру на себя, которые можно перемножать так, чтобы выполнялись привычные свойства умножения чисел.
    Произведение преобразований a и b (ab) - это преобразование, полученное в результате последовательного выполнения преобразований a, b.
    При таком определении умножения преобразований выполняются свойства.
    Существует "единица" умножения - это тождественное преобразование e такое, что преобразования ea и ae совпадают с преобразованием a.
    Каждое преобразование a имеет обратное a-1 такое, что aa-1 = a-1a = e.
    При умножении трех преобразований a, b и c преобразования можно объединять попарно разными способами, то есть выполняется ассоциативный закон.
    (ab) c = a (bc).
    Отсюда, при умножении нескольких множителей скобки можно не ставить.
    В отличие от умножения чисел коммутативный закон для умножения преобразований не обязательно выполняется. Например. Пусть a и b (рис. 2) - осевые симметрии (для краткости в дальнейшем слово осевая будем опускать). Преобразование ab отображает:
    A ??? D ??? B,
    B ??? C ??? C.
    Сторона AB перешла в BC; центр О остался неподвижным. ab - это поворот вокруг центра О на 90о. Аналогично проверяется, что преобразование ba есть поворот в обратную сторону, на -90о, то есть ab ? ba.
    Таким образом, перечисленные выше 8 преобразований образуют некоммутативную группу симметрий квадрата (G2).
    Четыре поворота вокруг центра О на 0о, ? 90о, 180о также образуют группу - это подгруппа группы симметрий квадрата, так как при умножении поворотов снова получается поворот, угол поворота которого равен сумме углов поворота сомножителей (с точностью до 360о). Эта подгруппа порождается поворотом на 90о ():
    , , .
    Это циклическая группа Z4 { r, r2, r3, r4 = e }.
    Она состоит из степеней одного порождающего ее элемента. Очевидно, r2 есть центральная симметрия z, r3 = r -1. Симметрия a (рис. 2) порождает подгруппу Z2 { a, a2 = e }. Две симметрии a и c, оси которых перпендикулярны (рис. 3) порождают нециклическую подгруппу из четырех элементов: двух осевых симметрий и одной центральной: { a, c, ac = z, a2 = e }. В силу того, что умножение двух симметрий дает поворот на удвоенный угол между осями, можно проверить, что правила умножения для этой группы таковы. Произведение любых двух симметрий равно третьей симметрии, а квадраты их равны тождественному преобразованию (табл. ............