Содержание

1) Интеграл по поверхности первого рода

2) Специальные векторные поля

3) Теорема Стокса

4) Потенциальное поле

Литература

векторное потенциальное поле интеграл

Интеграл по поверхности первого рода

Физические задачи приводящие к поверхностному интегралу могут быть двух типов:

1)  не связана с направлением нормали к поверхности

Например, задачи об отыскании массы или заряда распределенных по поверхности:

2) - зависит от направления нормали -задача об отыскании потока жидкости в направлении нормали.

Дано: -непрерывная функция на

-поверхность:

1) Разобьем поверхность на n частей

2) Возьмем точку

3) Вычислим -плотность

4) -масса

Следовательно

 

,

где D- проекция  на плоскость XOY

Пример.

,

Пример. Определить массу, распределенную на поверхности , плотностью

Решение.

Специальные векторные поля.

1  Дивергенция.

2  Соленоидальные поля. Свойства.

3 

1. Определение дивергенции

Теорема Остроградского -Гаусса

Пример.

Найти поток вектора  направленный в отрицательную сторону оси Ох, через часть параболоида  отсекаемый плоскостью

Решение:

Ответ.

Свойства соленоидальных полей.

Определение. Векторное поле , для всех точек которого  называется соленоидальным в области . Соленоидальное поле свободно от источников.

Свойства соленоидальных полей.

1.  Если соленоидальное поле задано в односвязной области, то поток вектора через любую замкнутую поверхность этой области равно нулю.

Пусть - соленоидальное поле в односвязной области. Тогда поток вектора  через любую поверхность  натянутую на заданный контур Г, не зависит от вида этой поверхности, а зависит лишь от контура.

 применим теорему Остроградского-Гаусса.

2.  Свойства векторной трубки.

Определение. Векторной линией называется линия в каждой точке которой направление касательной к ней совпадает с направлением поля .

 векторной линии .

Возьмем в поле  замкнутый контур  и проведем через его точки векторные линии

Любая другая векторная линия проходящая через точки контура проходит либо внутри трубки либо вне трубки.

В случае потока жидкости , векторная трубка -это часть пространства, которую заполняет при своем перемещении объем жидкости.

Интенсивностью векторной трубки называется поток поля через поперечное сечение этой трубки.

3.  Если поле соленоидальное в односвязной области , то интенсивность векторной трубки постоянна вдоль всей трубки.

Доказательство:

- боковая поверхность, векторные линии перпендикулярны . Следовательно  (нормаль к  есть нормаль поля  т.е. )

 и  имеют противоположные направления.

.

 Поток  через любое поперечное одно и тоже если  соленоидальное.

4.  В соленоидальном поле  векторные линии не могут ни начинаться ни заканчиваться внутри поля. Они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля, либо имеют бесконечные ветви.

Доказательство:

По свойству 3 интенсивность трубки одинакова , хотя поперечное сечение в точке М равно нулю, в т М . Это невозможно т.к. ............