Мера ограниченного открытого множества

В теории функций вещественной переменной большую роль играет понятие меры точечного множества, обобщающее понятие длины промежутка, площади прямоугольника, объема параллелепипеда и т.д. В этой главе мы изложим теорию измерения линейных ограниченных точечных множеств, принадлежащую А.Лебегу.

Так как наиболее простой структурой обладают открытые множества, то естественно начать именно с них.

Определение 1. Мерой интервала (a, b) называется его длина, т.е. b - a. Это число обозначается так:

m (a, b) = b - a

Очевидно, что всегда m (a, b) > 0.

Лемма 1. Если в интервале D содержится конечное число взаимно не налегающих интервалов d1, d2, ..., dn, то

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть D = (A, B), dk = (ak, bk) (k = 1, 2, …, n).

Не нарушая общности, можно считать, что интервалы dk перенумерованы в порядке возрастания левых концов, т.е. что

a1 < a2 < … < an.

Но тогда, очевидно, bk £ ak+1 (k = 1, 2, …, n - 1), ибо иначе интервалы dk и dk+1 налегали бы друг на друга. Поэтому сумма

Q = (B - bn) + (an - bn-1) + … + (a2 - b1) + (a1 - A)

не отрицательна. Но очевидно, что  , откуда и следует лемма.

Следствие. Если на интервале D лежит счетное множество взаимно не налегающих интервалов dk (k = 1, 2, 3, …), то

.

[Имея дело с положительным расходящимся рядом, мы приписываем ему сумму, равную + ¥; поэтому всякий положительный ряд имеет некоторую сумму. Неравенства k< C (положительного ряда) гарантирует его сходимость.]

Определение 2. Мерой mG непустого открытого ограниченного множества G называется сумма длин  всех его составляющих интервалов  dk:

 (Не зная, конечно или счетно множество {dk}, мы будем употреблять обозначение dk, подразумевая, смотря по обстоятельствам, под этим символом k  или  k.)

В силу вышеотмеченного следствия,

mG< + ¥

Если  множество G пусто, то мы , по определению, полагаем

mG=0,

так что всегда mG³0.

Если D есть интервал, содержащий в себе открытое множество G, то

mG £  mD,

что вытекает из того же следствия.

Пример (Канторово множество G0). Построение Канторова множества G0 состояло из ряда последовательных шагов.

На первом шагу брался интервал (1/3, 2/3) длины 1/3. На втором шагу к нему присоединялись два интервала: (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9), длины 1/9 каждый.

На третьем шагу присоединялись еще четыре интервала, длины 1/27 каждый и т.д.

Таким образом

mG0 =…

Суммируя по известной формуле эту прогрессию, получаем

mG0 = 1.

Теорема 1. Пусть G1 и  G2  два ограниченных открытых множества. Если  G1 Ì  G2, то

mG1 £  mG2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть di (i = 1, 2, …) и Dk (k = 1, 2, …) суть, соответственно, составляющие интервалы множеств G1 и  G2.

В силу теоремы 4, § 5, гл.II, каждый из интервалов di  содержится в одном (и только одном) из интервалов Dk.

Поэтому множество {di} можно разбить на ряд взаимно не пересекающихся подмножеств А1, А2, А3,…, относя di в Аk в том случае, когда di Ì Dk.

Тогда, пользуясь известными свойствами двойных рядов, мы можем написать

.

Но, в силу следствия леммы 1,

, откуда ,

что и требовалось доказать.

Следствие. Мера открытого ограниченного множества G есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих G.

Теорема 2. Если открытое ограниченное множество G является суммой конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих открытых множеств

,

то

.

Это свойство меры называется полной аддитивностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  (i = 1, 2, …) суть составляющие интервалы множества Gk. ............