Математическое ожидание и дисперсия для интервальных и пропорциональных шкал. Доверительные интервалы.
    С.В. Усатиков, кандидат физ-мат наук, доцент; С.П. Грушевский, кандидат физ-мат наук, доцент; М.М. Кириченко, кандидат социологических наук
    Рассмотрим случай, когда в проводимом эксперименте числовая шкала имеет единицу измерения, т.е. про полученные числовые величины всегда можно сказать, насколько одно больше другого. Например, х - это число ошибок, допущенных при каком-либо тестировании, или число правильных ответов. Обозначим х1,...,хк деления этой шкалы, а n1,...,nk - частоты или число попаданий случайной величины х на каждое из этих делений. Например, в тестировании: шкала х1=0 правильных ответов, ..., хк=к-1 правильных ответов; n1 тестируемых не дали ни одного правильного ответа, ..., nk тестируемых дали к-1 правильных ответов.
    Математическим ожиданием или просто средним называется число mx, вычисляемое по следующему правилу:
    mx= (n1x1+.....+nkxk),
    где n=n1+...+nk - общее число испытаний
    Дисперсией называется число , вычисляемое по следующему правилу:
    чаще используется число , которое называется стандартным отклонением.
    Например, группу из n=11 учащихся опросили и получили следующее число правильных ответов: Шкала Xi 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Частоты ni 0 1 0 1 1 2 2 2 1 0 1 0 Здесь 9 правильных ответов дал только один человек, 10 - ни одного, 13 правильных ответов дали 2 человека и т.п. Тогда:
    
    или
    Таким образом, mx является обобщенным показателем достигнутого группой уровня в среднем, в виде одного числа, как меры центральной тенденции. Число же s x показывает, насколько испытуемые в группе отличаются по уровню развития изучаемого признака. Чем больше s x, тем больше различия у испытуемых, тем более разнородна по составу группа. Наоборот, чем меньше s x , тем однороднее группа и тем ближе по своему уровню испытуемые.
    Дисперсия - весьма важный для исследователя-практика показатель. Анализируя ту или иную сторону учебно-воспитательного процесса, необходимо сравнивать большие наборы средних арифметических. Скажем, если опрос проводили в пяти классах параллели, а анкета содержала 15 вопросов с интервальной шкалой, каковой приписывались балльные значения, то общее число значений средних арифметических достигает 75. При этом самый опытный исследователь может запутаться в расчетах и пропустить какую-либо зависимость (или же обнаружить ее там, где она никогда не существовала). Это делать довольно легко, так как средняя арифметическая, как мера центральной тенденции, обладает рядом весьма капризных свойств. Понять их помогает приводимая ниже таблица.
    "Удовлетворяют ли Вас результаты проведенной аттестации ?" Позиция вопроса Да, в полной мере В общем да, за исключением нес-кольких моментов Скорее всего нет Совершенно не удовлет-воряет Трудно сказать Балльное значение, приписанное позиции +2 +1 -1 -2 0 Выборка 1 20% 20% 20% 20% 20% Выборка 2 0% 50% 50% 0% 0% Выборка 3 0% 0% 0% 0% 100% Выборка 4 10% 10% 10% 10% 60% Если мы рассчитаем результаты этих четырех опросов, то получим, что во всех случаях mx=0. Разумеется, вероятность получить столь явно расходящиеся, как в нашей таблице, распределения, равна нулю - в практике возможны лишь какие-либо приблеженные варианы. ............