О полноте систем упражнений по математическому анализу
    Е. А. Меньшикова
    Разработкой требований к системам упражнений по математике занимались различные авторы (П.М.Эрдниев, Ю.М.Колягин, Н.А.Сорокин, В.А.Онищук, В.В.Гузеев, А.Ф.Эсаулов и другие). При этом многие из них уделяют значительное внимание требованию полноты. Данная статья анализирует понятие полноты системы упражнений в контексте преподавания математического анализа. При этом мы обосновываем следующие утверждения.
    Требования современной дидактики к системам упражнений по той или иной теме математики могут быть обеспечены только такими системами, которые имеют достаточно большой объем и весьма сложную структуру.
    Системы упражнений по теме "Экстремум функции", содержащиеся в традиционно используемых задачниках по математическому анализу, не полны в целом ряде отношений. §1. Принцип полноты
    Одним из стандартных требований, предъявляемых к системам упражнений, является требование полноты. Понятие полноты обсуждалось разными авторами, каждый из которых уделяет особое внимание тому или иному аспекту данного понятия.
    Так, П.М.Эрдниев изучает данное понятие в рамках своей концепции укрупнения дидактических единиц [10. С.30-35]. Понятие полноты рассматривается в связи с вопросом о наборе упражнений для достижения целостного и прочного усвоения знаний. Говоря об упражнениях, П.М.Эрдниев вводит понятие циклической полноты. Под циклической полнотой понимается такая организация упражнения, когда каждый элемент данного выражения (задачи) последовательно выступает в качестве искомого. П.М.Эрдниев также указывает на необходимость концентрической организации материала, когда в качестве единицы структуры программы выступает цикл, образующий внутренне целостную тему. Например, целесообразно изучать одновременно линейные уравнения, линейные неравенства и тождества, приводящие к линейным уравнениям. Пройдя данный цикл, учащиеся снова возвращаются к уравнению, но уже квадратному. Понятие полноты возникает и в связи с понятийным окружением соответствующих знаний. Согласно П.М.Эрдниеву содержание любого математического понятия или результат математических действий необходимо обогащать, привлекая понятия из других разделов математики. Например, при изучении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными целесообразно давать геометрическую интерпретацию полученного результата. При данном подходе алгебраический результат и его геометрический образ выступают в качестве фона друг для друга. Такое взаимное влияние результатов связано с понятием фоновой наглядности [8. С.203].
    В.В.Гузеев рассматривает вопрос о полноте системы упражнений к блоку уроков по той или иной теме. Требование полноты заключается "... в наличии задач на все изучаемые понятия, факты, способы деятельности, включая мотивационные, подводящие под понятие, на аналогию, следствия из фактов и т.д."[4. С.54]
    Г.И.Саранцев в своей книге [7] не ставит вопрос о полноте системы упражнений. Однако, рассматривая процесс формирования понятия или организацию работы с теоремой, он указывает на необходимость упражнений для реализации каждого этапа работы. Каждый этап реализуется в процессе выполнения различных действий, следовательно, нужны упражнения на все эти действия. ............