Дипломная работа

По теме: "Оценка периметра многоугольника заданного диаметра"

Оглавление

Введение

Глава 1. Общие сведения о задачах на экстремум. Примеры экстремальных задач

1. Общие свойства выпуклых фигур

1.1 Задачи

1.2 Решения

2. Изопериметрическая задача

2.1 Задачи

2.2 Решения

3. Задачи на максимум и минимум

3.1 Задачи

3.2 Решения

Глава 2. Оценка периметра пятиугольника единичного диаметра

1. Доказательство равенства четырех диагоналей пятиугольника единице

2. Отыскание оптимального пятиугольника

Заключение

Библиография

Введение

В жизни постоянно приходиться сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (оптимальное) решение. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.

Оба понятия максимум и минимум объединяются одним термином "экстремум", что по латыни означает "крайнее". Задачи отыскания максимума и минимума называются экстремальными задачами.

Экстремальными задачами человек интересовался с античных времен. Уже в Древней Греции знали об экстремальных свойствах круга и шара: среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (решение изопериметрической задачи); шар имеет максимальный объем среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности (решение изопифанной задачи). [4, 4]

История сохранила легенду о следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны: указать форму границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Считается, что история этой задачи началась в IX веке до н.э., когда, как написал в своей поэме "Энеида" древнеримский поэт Вергилий, царевне Дидоне пришлось решать изопериметрическую задачу. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Согласно легенде Дидона справилась с поставленной задачей и на месте отгороженного участка основала город Карфаген. Говорят, что старая крепость Карфагена действительно имела форму круга. [3, 29]

Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.). В началах Евклида – первой научной монографии и первом учебном пособии в истории человечества, в труде вышедшем в IV веке до н.э. имеется задача на максимум. В современной редакции она выглядит так: в данный треугольник АВС вписать параллелограмм ADEF, наибольшей площади. Нетрудно показать, что решением этой задачи является параллелограмм, вершины D, E, F которого делят соответствующие стороны треугольника пополам. [4, 30]

Известна также задача античного математика Герона Александрийского, с которой мы знакомимся еще в школе: даны две точки А и В по одну сторону от прямой l. Требуется найти на прямой l такую точку D, что бы сумма расстояний от А до D и от В до D была наименьшей. Книга, где была изложена эта задача, называется "О зеркалах". Время написания этой книги неизвестно, но большинство исследователей считают, что она написана в I веке до н.э. При этом сам труд Герона не сохранился, и о нем известно из комментариев к нему написанных позже.

После гибели античной цивилизации научная жизнь в Европе стала возрождаться только в XV веке. Экстремальные задачи оказались среди тех, которыми интересовались лучшие умы того времени. ............