КУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу «Математика»
на тему : «Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств»
Кировоград
2004
СОДЕРЖАНИЕ
ВСТУПЛЕНИЕ………………………………………………………………………....3
РАЗДЕЛ 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ……………………..4
1.1. Применение производной при решении неравенств…….…………………..….4
1.2. Использование основных теорем дифференциального исчисления к
доказательству неравенств……………………..………………………………....8
1.3. Применение производной при решении уравнений…………………………....10
РАЗДЕЛ 2. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКИ........................................................................................16
2.1. Применение интеграла от монотонных функций к доказательству
неравенств………………………………………………………………………...16
2.2. Монотонность интеграла………………………………………………………..19
2.3. Интегралы от выпуклых функций………………………………………………21
2.4. Некоторые классические неравенства и их применение………………………25
ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………………..28
ВСТУПЛЕНИЕ
Элементы математического анализа занимает значительное место в школьном курсе математики. Учащиеся овладевают математическим аппаратом, который может быть эффективно использован при решении многих задач математики, физики, техники. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются площади и объемы геометрических фигур. Иными словами, введение нового математического аппарата позволяет рассмотреть ряд задач, решить которые нельзя элементарными методами. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается.
Многие традиционные элементарные задачи (доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений и другие) эффективно решаются с помощью понятий производной и интеграла. Школьные учебники и учебные пособия мало уделяют внимания этим вопросам. Вместе с тем нестандартное использование элементов математического анализа позволяет глубже усвоить основные понятия изучаемой теории. Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. По существу, зачастую проводится небольшое математическое исследование, в процессе которого развиваются логическое мышление, математические способности, повышается математическая культура.
Для многих задач элементарной математики допускается как «элементарное», так и «неэлементарное» решение. Применение производной и интеграла дает как правило более эффективно решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата.
Методы математического анализа используются не только для решения поставленных задач, но и являются источником получения новых фактов элементарной математики.
РАЗДЕЛ 1
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1.1. Применение производной при решении неравенств
Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. ............
