Применение сингулярной матрицы в химии
(Реферат)
О Г Л А В Л Е Н И Е
Введение. 3
Глава 1. Общие сведения о сингулярном разложении и сингулярных матрицах 4
1.1. Ортогональное разложение посредством сингулярного разложения. 4
1.2. Вычисление сингулярного разложения. 5
Глава 2. Применение сингулярных матриц при многомерном анализе химических данных факторными методами. 7
2.1. Общие сведения о факторных методах. 7
2.2. Операции с матрицами и многомерный анализ данных. 9
2.3. Свойства сингулярной матрицы.. 10
Заключение. 12
Список используемой литературы.. 16
Введение Как известно, химия часто оказывается на перекрестке разных дисциплин. Для химика всегда есть большой соблазн в том, чтобы заняться какой-то чрезвычайно узкой областью, где он останется защищенным от всех превратностей, наслаждаясь удобством положения единственного в своем роде специалиста. Чтобы постоянно быть в курсе дела и в готовности встретить любую новую ситуацию, химику требуется быть знакомым с огромным объемом информации, необходимой не только для движения вперед, но и просто для сохранения своего положения.
При написании данного реферата была использована следующая литература, содержащая информацию о сингулярных матрицах и применении их в химии:
· книга «ЭВМ помогает химии» (пер. с англ) под ред. Г. Вернена, М. Шанона, в которой рассмотрено применение ЭВМ в различных областях химии: синтез органических соединений, кристаллография, масс-спектрометрия и т. д.
· книга Ч.Лоусона и Р.Хенсона «Численное решение задач метода наименьших квадратов» (пер. с англ), посвященная изложению численных решений линейных задач метода наименьших квадратов.
Глава 1. Общие сведения о сингулярном разложении и сингулярных матрицах 1.1. Ортогональное разложение посредством сингулярного разложения В этом пункте данного реферата будет описано одно практически полезное ортогональное разложение т x n - матрицы А. Мы покажем здесь, что невырожденную подматрицу R матрицы A можно еще более упростить так, чтобы она стала невырожденной диагональной матрицей. Получаемое в результате разложение особенно полезно при анализе влияния ошибок входной информации на решение задачи НК.
Это разложение тесно связано со спектральным разложением симметричных неотрицательно определенных матриц ATA и AAT.
Теорема (сингулярное разложение). Пусть А - m x n -матрица ранга k. Тогда существуют ортогональная m x m матрица U, ортогональная n x n -матрица V и диагональная m x n -матрица S) такие, что
Матрицу S можно выбрать так, чтобы ее диагональные элементы составляли невозрастающую последовательность; все эти элементы неотрицательны и ровно k из них строго положительны.
Диагональные элементы S называются сингулярными числами А.
Доказательства данной теоремы приводить не имеет смысла во избежание нагромождения множества сложных математических выкладок, прямого отношения к теме, рассматриваемой в данном реферате, не имеющих. Ограничимся следующим численным примером, в котором дано сингулярное разложение матрицы А вида:
1.2. ............