Міністерство освіти і науки України
Вінницький національний технічний університет Інститут автоматики, електроніки та комп’ютерних систем управління
Факультет АКСУ Кафедра АІВТ
Курсова робота з дисципліни
«Обчислювальні методи та застосування ЕОМ»
Дослідження методів чисельного інтегрування
2006
Анотація
В даній курсовій роботі розроблена програма для обчислення визначеного інтегралу методом Чебишева третього четвертого та п’ятого порядків.
Програма дозволяє отримати розв’язання інтегралу зазначеним методом, оцінити похибки та порівнювати їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.
1. Теоретичні відомості
У курсовій роботі проведено дослідження методів чисельного інтегрування. Адже, у задачах, пов'язаних з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, керування, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.
В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:
Загальний підхід до розв’язування цієї задачі такий: визначений інтеграл I являє собою площину, обмежену кривою f(х), віссю Х та прямими Х = a, Х =b, відрізок від a до b розбивають на множину менших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують за таким розбиванням, значення інтеграла І знаходять як суму площ площин Sі, тобто I = Si. При цьому використовують два способи розбивання початкового відрізка на менші
1.Розбивання відрізка проводиться раніше, до того ж завжди відрізок вибирають рівним (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона).
2.Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшої точності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (методи Гаусса, Ньютона - Котеса, Чебишева) [1].
1.1 Метод прямокутників
Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h=xi=xi+1-xi), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:
In=f(x)dx»Si=h[f(x0)+f(x1)+...+f(xn-1)]=f(xi);(1.1)
якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:
Iпр=f(x)dx»h[f(xn)+...+f(x1)]=f(xi)(1.2)
1.2 Метод трапецій
Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією j(x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.
Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ Si прямокутних трапецій N.
Площа кожної такої трапеції визначається як:
Si=h(f(xi)+f(xi+1)).(1.3)
Отже, формула трапеції:
I=»Si=h(f(x0)+f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1)+f(xN)= =[(f(x0)+f(xn))+f(xi)].(1.4)
Графічна модель
Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як
(1.5)
Де М2 –максимальне значення другої похідної. ............