Міністерство освіти і науки України
Південноукраїнський державний педагогічний університет
ім. К.Д.Ушинського (м. Одеса)
Кафедра математичного аналізу
Курсова робота на тему:
„Еліптичні інтеграли”
виконала
студентка 4 курсу
інституту фізики і математики
спеціальності „МІ”
Сушкова О.А.
Науковий керівник:
Аров Д.З.
Одеса 2007
План
Вступ
1. Загальні зауваження та означення
2. Допоміжні перетворення
3. Приведення до канонічної форми
4. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду
Висновки
Література
Додатки
Вступ
У багатьох питаннях науки і техніки доводиться не по заданій функції шукати її похідну, а навпаки – відновлювати функцію по відомій її похідній.
Дамо наступне означення:
Функція F(x) на даному проміжку називається первісною функцією для функції f(x) або інтегралом від f(x), якщо на всьому цьому проміжку f(x) являється похідною для функції F(x) або, що те ж саме, f(x)dx служить для F(x) диференціалом
F’(x )= f(x) або dF(x )= f(x)dx.
Пошук для функції всіх її первісних, що називається інтегруванням її, і складає одну з задач інтегрального числення; як бачимо, ця задача являється оберненою основній задачі диференціального числення. Так, наприклад, для обчислення довжини дуги еліпса чи деякої її частини необхідно розв’язати певні еліптичні інтеграли, яким і присвячена дана курсова робота.
1. Загальні зауваження та означення
Розглянемо інтеграл виду
(1)
де y це алгебраїчна функція від х, тобто задовольняє алгебраїчному рівнянню
(2)
(тут - цілий відносно та многочлен). Інтеграли подібного роду отримали назву абелевих інтегралів. До їх числа відносяться інтеграли
Дійсно, функції
задовольняють, відповідно, алгебраїчним рівнянням
Виходячи на геометричну точку зору, абелев інтеграл (1) вважають зв’язаним з тою алгебраїчною кривою, яка визначається рівнянням (2). Наприклад, інтеграл
(3)
зв’язаний з кривою другого порядку
Якщо крива (2) може бути представлена параметрично
так, що функції є раціональними, то в інтегралі (1) стає можливою раціоналізація підінтегрального виразу: підстановкою вона зводиться до виду
.
До цього класу відносяться обидва вище згадані випадки. В окремому випадку, можливість раціоналізації підінтегрального виразу в інтегралі типу (3) зв’язана безпосередньо з тим фактом, що крива другого порядку унікурсальна.
Очевидно, що змінні x і t зв’язані алгебраїчним рівнянням, так що t являється алгебраїчною функцією від х. Якщо розширити клас елементарних функцій, включаючи в нього і всі алгебраїчні функції, то можна сказати, що в випадку унікурсальності кривої (2), інтеграл (1) завжди виражається через елементарні функції в кінцевому виді.
Але подібні обставини являються в деякому розумінні винятком. В загальному випадку крива (2) не унікурсальна, тоді ж, як можна довести, інтеграл (1) заздалегідь не завжди, тобто не при всякій функції R, може бути вираженим в кінцевому виді (проте не виключена можливість цього при окремих конкретних R).
З цим ми зустрічаємося уже при розгляді важливого класу інтегралів
(4)
які містять квадратний корінь з многочленів 3-ої або 4-ої степені і звичайно прилягаючих до інтегралів (3). ............
