Содержание
Введение
Глава I. Развитие понятия интеграла
1.1 Проблема моментов
Глава II. Интеграл Стилтьеса
2.1 Определение интеграла Стилтьеса
2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
2.5 Интегрирование по частям
2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
2.8 Примеры
2.10 Теорема о среднем, оценки
2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
2.12. Примеры и дополнения
Глава III. Применение интеграла Стилтьеса
3.1 Применение в теории вероятностей
3.2 Применение в квантовой механике
Заключение
Список литературы
Приложение
Введение
Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют "не слишком много" точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.
Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.
Цель работы - рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.
Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели:
изучить множество литературы по этой теме;
отобрать из изученного материла необходимый;
привести примеры использования интеграла.
Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена развитию данного понятия, проблеме моментов, которая и привела к необходимости введения нового понятия интеграла.
Во второй главе рассмотрены основные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления, рассмотрено множество примеров.
Третья глава посвящена применению интеграла Стилтьеса в других разделах математики и в других науках.
Глава I. Развитие понятия интеграла 1.1 Проблема моментов
Введение понятия интеграла Стилтьеса и последующая его разработка связаны с проблемой моментов, состоящей в следующем. Пусть задана последовательность чисел ; требуется найти такую функцию распределения , чтобы члены заданной последовательности были моментами, т.е. . Если a и b конечны, то поставленная задача называется проблемой моментов в конечном интервале; если , то получаем проблему моментов Стилтьеса.
Проблема моментов первоначально ставилась в менее общей форме. ............
