Интеграл Пуассона.
    
    
    Пусть ??x? , g(x) , x?R1 -суммируемые на ?-?, ?? , 2?- периодические, комплекснозначные функции. Через f?g(x) будем обозначать свертку
    f?g(x) =dt
    Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на ?-?,?? и
    cn ( f?g ) = cn ( f )? cn ( g ) , n = 0, ?1 , ?2 , ... ( 1 )
     где ? cn ( f )? -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
    cn = -i n tdt , n = 0, ????????
    Пусть ? ??L1 (-?????) . Рассмотрим при ? ? r ??? функцию
    ?r ( x ) = n ( f ) r??n ? ei n x , x ??????????? , ( 2 ) где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , ? ??r ??? . Коэффициенты Фурье функции ?r ?х? равны cn ( fr ) = cn ? r? n ?? , n = 0 , ??????????, а это согласно (1) значит, что ?r ? x ? можно представить в виде свертки :
    ?r ( x ) = , ( 3 ) где
    , t ? ??????????? ( 4 )
    Функция двух переменных Рr (t) , 0 ???r??? , t ????????? ? , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона . Следовательно,
    Pr ( t ) = , 0???r ? ? , t ?????????? . ( 5 ) Если ?? L? ( -?? ? ) ? действительная функция , то , учитывая , что c-n ( f ) = ?cn( f ) , n = 0??????????? из соотношения (2) мы получим : fr ( x ) = = , ( 6 ) где
    F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 ) - аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ?? L1( -?, ? ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
    u ( z ) = ?r (eix ) , z = reix , 0 ?? r ?1 , x ? [ -?, ? ] . При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
    v (z) = Im F (z) = . ( 8 ) Утверждение1. Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге ? z ????????? ? ??? ? функция и ? (x) = u (eix) , x?????, ? ? . Тогда
    u (z) = ( z = reix , ? z ? ? ? ) ( 10 ). Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
    =, ? z ? ? ?+ ? . Но тогда
     и равенство (10) сразу следует из (2) и (3). Прежде чем перейти к изучению поведения функции ?r (x) при r?? , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: а) ; б) ; в) для любого ?>0
     Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ? ?х? ? ?. Теорема 1. Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -?, ? ) , 1 ? p < ? , имеет место равенство
    ; если же ? (x) непрерывна на [ -?, ? ] и ? (-?) = ? (?) , то
    . Доказательство. В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
    ( 12 ) Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим . Следовательно,
    . Для данного ? ? ? найдем ? = ? (?) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку . Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
    . Теорема 1 доказана. Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы. Определение1. Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция
     где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х. Определение 2. Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0 . Теорема 2 (Фату). Пусть - комплекснозначная функция из . ............