Задание 1
Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл. 1 вычислить значение интерполяционного полинома в точке .
Таблица 1
Порядковый номер исходных данных № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Х 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 1,445 1,450 1,455 1,460 У 0,888 0,889 0,89 0,891 0,892 0,893 0,894 0,895 0,896 0,897
интерполяция погрешность производная
Решение
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде
- конечная разность первого порядка
- конечная разность К-го порядка.
Таблица конечных разностей для экспериментальных данных:
1 1,415 0,888 0,001 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1,420 0,889 0,001 0 0 0 0 0 0 0 3 1,425 0,89 0,001 0 0 0 0 0 0 4 1,430 0,891 0,001 0 0 0 0 0 5 1,435 0,892 0,001 0 0 0 0 6 1,440 0,893 0,001 0 0 0 7 1,445 0,894 0,001 0 0 8 1,450 0,895 0,001 0 9 1,455 0,896 0,001 10 1,460 0,897
.
Задание 2
Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.
, [0,4].
Решение
Вычислим первую и вторую производную функции
. Получим и .
Итерационное уравнение запишется так:
.
В качестве начального приближения возьмем правый конец отрезка .
Проверяем условие сходимости:
.
Условие сходимости метода Ньютона выполнено.
Таблица значений корня уравнения:
i
1 3,083 2 2,606 3 2,453
Уточненное значение корня .
В качестве оценки абсолютной погрешности полученного результата можно использовать величину
.
Задание 3
Методами треугольников, трапеций и Симпсона вычислить определенный интеграл.
Решение
Метод прямоугольников
Значение интеграла на интервале определяется следующей формулой:
слева
справа
1 0,25 0,2 2 0,2 0,1667 3 0,1667 0,1429 4 0,1429 0,125
0,7595 0,6345
Значение интеграла: .
Метод трапеций
Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая равна расстоянию между точками по оси х. интеграл равен сумме площадей всех трапеций.
1 0,25 2 0,2 3 0,1667 4 0,1429 5 0,125
Значение интеграла: .
Метод Симпсона
1 0,25 2 0,2 3 0,1667 4 0,1429
Значение интеграла: .
Задание 4
Проинтегрировать уравнение методом Эйлера на интервале [0.2, 1.2] . Начальное условие у(0,2)=0,25.
Решение
Все вычисления удобно представить в виде таблицы:
0 0,2 0,2500 0,2751 0,0688 0,3188 1 0,45 0,3188 0,4091 0,1023 0,4211 2 0,7 0,4211 0,5634 0,1408 0,5619 3 0,95 0,5619 0,7359 0,1840 0,7459 4 1,2 0,7459 0,9318 0,2329
Таким образом, задача решена.
Задание 5
Задача 1. ............
