Содержание

Ведение

1.Оператор Лапласа

2.Уравнение Лапласа в двумерном пространстве

3.Уравнение Лапласа в случае пространственных переменных

4.Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье

Заключение

Список литературы

лаплас уравнение трехмерный пространство

Введение

Пьер-Симо́н Лаплас ( 23 марта 1749 — 5 марта 1827) — выдающийся французский математик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Заслуги Лапласа в области чистой и прикладной математики и особенно в астрономии громадны: он усовершенствовал почти все отделы этих наук. Был членом Французского Географического общества.

При решении прикладных задач Лаплас разработал методы математической физики, широко используемые и в наше время. Особенно важные результаты относятся к теории потенциала и специальным функциям. Его именем названо преобразование Лапласа и уравнение Лапласа. Он далеко продвинул линейную алгебру; в частности, Лаплас дал разложение определителя по минорам.

Лаплас расширил и систематизировал математический фундамент теории вероятностей, ввёл производящие функции. Первая книга «Аналитической теории вероятностей» посвящена математическим основам; собственно теория вероятностей начинается во второй книге, в применении к дискретным случайным величинам. Там же — доказательство предельных теорем Муавра—Лапласа и приложения к математической обработке наблюдений, статистике народонаселения и «нравственным наукам».

Лаплас развил также теорию ошибок и приближений методом наименьших квадратов.

1.Оператор Лапласа

Оператор Лапласа - дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции F он ставит в соответствие функцию

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.

Градиент— вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении. Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами , где - некоторая скалярная функция координат x,y,z.

Если  - функция n переменных  то ее градиентом называется n-мерный вектор

Компоненты которого равны частным производным  по всем ее аргументам. Градиент обозначается grad, или с использованием оператора набла,

Из определения градиента следует, что:

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения  дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе.

Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

Или опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

Дивергенция — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. ............