МОУ СОШ "УК №20"
    Иррациональные уравнения и неравенства
    
    реферат по алгебре
    ученика 11 "В" класса
    Торосяна Левона
    
    Руководитель:
    Олейникова Р. М.
    Сочи 2002г.
    
    Содержание. I. Введение II. Основные правила III. Иррациональные уравнения: * Решение иррациональных уравнений стандартного вида. * Решение иррациональных уравнений смешанного вида. * Решение сложных иррациональных уравнений.
     IV. Иррациональные неравенства: * Решение иррациональных неравенств стандартного вида. * Решение нестандартных иррациональных неравенств. * Решение иррациональных неравенств смешанного вида.
     V. Вывод VI. Список литературы I. Введение Я, Торосян Левон, ученик 11 "В" класса, выполнил реферат по теме: "Иррациональные уравнения и неравенства". Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают. Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств. В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях. II. Иррациональные уравнения Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется. Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:
    
    
    
    Решение иррациональных уравнений стандартного вида: а) Решить уравнение = x - 2, Решение. = x - 2, 2x - 1 = x2 - 4x + 4, Проверка: x2 - 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 - 2, x1 = 5, 3 = 3 x2 = 1 - постор. корень х = 1, 1 - 2 , Ответ: 5 пост. к. 1 -1. б) Решить уравнение = х + 4, Решение. = х + 4, Ответ: -1 в) Решить уравнение х - 1 = Решение. х - 1 = х3 - 3х2 + 3х - 1 = х2 - х - 1, х3 - 4х2 + 4х = 0, х(х2 - 4х + 4) = 0, х = 0 или х2 - 4х + 4 = 0,
    (х - 2)2 = 0,
    х = 2 Ответ: 0; 2. г) Решить уравнение х - + 4 = 0, Решение. х - + 4 = 0, х + 4 = , Проверка: х2 + 8х + 16 = 25х - 50, х = 11, 11 - + 4 = 0, х2 - 17х + 66 = 0, 0 = 0 х1 = 11, х = 6, 6 - + 4 = 0, х2 = 6. 0 = 0. Ответ: 6; 11.
    Решение иррациональных уравнений смешанного вида: * Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля: а) Решить уравнение = Решение. = , - +
    x Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
    или
    
    
    
     Ответ: б) Решить уравнение Решение. , - +
     x Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
    или
    
    
    
     Ответ: . * Иррациональные показательные уравнения: а) Решить уравнение Решение.
    ОДЗ: Пусть = t, t > 0 Сделаем обратную замену: = 1/49, или = 7, = , - (ур-ние не имеет решений) x = 3. Ответ: 3 б) Решить уравнение Решение. Приведем все степени к одному основанию 2: данное уравнение равносильно уравнению: Ответ: 0,7 * Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени: Решить уравнение Решение. возведем обе части уравнения в квадрат 3x - 5 - 2 2x - 2 = 2 x -1 = x Проверка: x x = 3, 4x 1 = 1.
    x = 1,75 Ответ: 3. * Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени: Решить уравнение Решение. возведем обе части уравнения в куб но , значит: возведем обе части уравнения в куб (25 + x)(3 - x) = 27, Ответ: -24; 2. * Иррациональные уравнения, которые решаются заменой: а) Решить уравнение Решение. Пусть = t, тогда = , где t > 0 t - Сделаем обратную замену: = 2, возведем обе части в квадрат
    Проверка: x = 2,5 Ответ: 2,5. б) Решить уравнение Решение. Пусть = t, значит = , где t > 0 t+ t - 6 = 0, Сделаем обратную замену: = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень x + 8 = 16, Проверка: x = 8, x = 2, x = 2. ............