Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Курсовая работа по информатике Исполнитель: Солнцев П.В. Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет) Санкт-Петербург 2001 Введение
    В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели исследуемого объекта, выбор способа и алгоритма решения полученной модели, численная реализация алгоритма.
    Цель данной работы - на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики. Постановка задачи
    Физическая модель
    В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.
    В настоящей работе используются оба подхода.
    Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой ?, на концах стержня поддерживается постоянная температура ?0.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    1.2 Математическая модель
    Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т0.
    Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).
    (1.1)
    Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.
    Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui
    Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:
    (1.2)
    где ????коэффициент теплопроводности, ????коэффициент теплоотдачи, D - диаметр стержня, ????температура потока, в который помещён стержень.
    Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:
    (1.3)
    на отрезке [-L|/2;L/2], где L - длина стержня, ?????постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.
    Коэффициент теплопроводности ? зависит от температуры:
    (1.4)
    где ?????начальное значение коэффициента теплопроводности, ?????вспомогательный коэффициент.
    Коэффициент теплоотдачи ??вычисляют по формуле:
    (1.5)
    т.е. ............